湖南大学 2026年高等代数第1题

将行列式 $f(x)$ 按第一行展开： $$f(x) = x \cdot D_4 + 9 \cdot (-1)^{1+5} \cdot \begin{vmatrix} -1 & x & 0 & 0 \\ 0 & -1 & x & 0 \\ 0 & 0 & -1 & x \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{vmatrix}$$ 其中 $D_4 = \begin{vmatrix} x & 0 & 0 & 33 \\ -1 & x & 0 & 19 \\ 0 & -1 & x & 12 \\ 0 & 0 & -1 & x+6 \end{vmatrix}$。第二个行列式为下三角，值为 $(-1)^4 = 1$，且 $(-1)^{1+5}=1$，所以该项为 $9$。

将 $D_4$ 按第一行展开： $$D_4 = x \cdot D_3 + 33 \cdot (-1)^{1+4} \cdot \begin{vmatrix} -1 & x & 0 \\ 0 & -1 & x \\ 0 & 0 & -1 \end{vmatrix}$$ 其中 $D_3 = \begin{vmatrix} x & 0 & 19 \\ -1 & x & 12 \\ 0 & -1 & x+6 \end{vmatrix}$。第三个行列式为上三角，值为 $(-1)^3 = -1$，$(-1)^{1+4}=-1$，所以该项为 $33 \cdot (-1) \cdot (-1) = 33$。

将 $D_3$ 按第一行展开： $$D_3 = x \cdot \begin{vmatrix} x & 12 \\ -1 & x+6 \end{vmatrix} + 19 \cdot (-1)^{1+3} \cdot \begin{vmatrix} -1 & x \\ 0 & -1 \end{vmatrix}$$ 计算两个2阶行列式： $\begin{vmatrix} x & 12 \\ -1 & x+6 \end{vmatrix} = x(x+6) + 12 = x^2+6x+12$， $\begin{vmatrix} -1 & x \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = (-1)(-1) - x \cdot 0 = 1$，且 $(-1)^{1+3}=1$，所以 $D_3 = x(x^2+6x+12) + 19 = x^3+6x^2+12x+19$。

将 $D_3$ 代入 $D_4$：$D_4 = x \cdot (x^3+6x^2+12x+19) + 33 = x^4+6x^3+12x^2+19x+33$。 再代入 $f(x)$：$f(x) = x \cdot (x^4+6x^3+12x^2+19x+33) + 9 = x^5+6x^4+12x^3+19x^2+33x+9$。

多项式 $f(x)=x^5+6x^4+12x^3+19x^2+33x+9$ 的有理根可能为 $\pm1, \pm3, \pm9$。检验：$f(-3)=0$，所以 $x=-3$ 是根。用综合除法除以 $x+3$： \begin{array}{r|rrrrrr} -3 & 1 & 6 & 12 & 19 & 33 & 9 \\ & & -3 & -9 & -9 & -30 & -9 \\ \hline & 1 & 3 & 3 & 10 & 3 & 0 \end{array} 得 $f(x)=(x+3)(x^4+3x^3+3x^2+10x+3)$。

令 $g(x)=x^4+3x^3+3x^2+10x+3$，有理根可能 $\pm1, \pm3$。检验：$g(-3)=0$，所以 $x=-3$ 又是根。用综合除法除以 $x+3$： \begin{array}{r|rrrrr} -3 & 1 & 3 & 3 & 10 & 3 \\ & & -3 & 0 & -9 & -3 \\ \hline & 1 & 0 & 3 & 1 & 0 \end{array} 得 $g(x)=(x+3)(x^3+3x+1)$。所以 $f(x)=(x+3)^2 (x^3+3x+1)$。

三次式 $h(x)=x^3+3x+1$ 的有理根可能为 $\pm1$，检验：$h(1)=5 \neq 0$，$h(-1)=-3 \neq 0$，无有理根。由于三次多项式若无有理根则在 $\mathbb{Q}$ 上不可约，故 $h(x)$ 不可约。因此 $f(x)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的不可约分解为 $f(x)=(x+3)^2 (x^3+3x+1)$。