湖南大学 2026年高等代数第2题
📝 题目
2．$\displaystyle f_{i}(x)=1+x+\cdots+x^{i-1}(i=1,2, \ldots, n)$ ，计算 $\displaystyle D_{n}=\left|\begin{array}{ccc}f_{1}(1) & \cdots & f_{1}(n) \\ f_{2}(1) & \cdots & f_{2}(n) \\ \vdots & & \vdots \\ f_{n}(1) & \cdots & f_{n}(n)\end{array}\right|$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解函数定义并写出行列式元素
由定义，$f_i(x)=1+x+\cdots+x^{i-1}$，当$x\neq 1$时，$f_i(x)=\frac{x^i-1}{x-1}$；当$x=1$时，$f_i(1)=i$。因此行列式$D_n$的第$i$行第$j$列元素为$f_i(j)$，即$D_n=\begin{vmatrix} f_1(1) & f_1(2) & \cdots & f_1(n) \\ f_2(1) & f_2(2) & \cdots & f_2(n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_n(1) & f_n(2) & \cdots & f_n(n) \end{vmatrix}$。
公式：$f_i(x)=\frac{x^i-1}{x-1}\ (x\neq 1),\ f_i(1)=i$
提示：注意$f_i(1)=i$，不要误用分式公式。
步骤 2/6
目标：将行列式写成求和形式
利用$f_i(k)=\sum_{t=0}^{i-1}k^t$，则$D_n=\begin{vmatrix} \sum_{t=0}^{0}1^t & \sum_{t=0}^{0}2^t & \cdots & \sum_{t=0}^{0}n^t \\ \sum_{t=0}^{1}1^t & \sum_{t=0}^{1}2^t & \cdots & \sum_{t=0}^{1}n^t \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum_{t=0}^{n-1}1^t & \sum_{t=0}^{n-1}2^t & \cdots & \sum_{t=0}^{n-1}n^t \end{vmatrix}$。
公式：$f_i(k)=\sum_{t=0}^{i-1}k^t$
提示：注意求和上限是$i-1$，不是$i$。
步骤 3/6
目标：通过行变换化简行列式
从最后一行开始，依次将第$i$行减去第$i-1$行（$i=n,n-1,\ldots,2$），得到$D_n=\begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 2 & \cdots & n \\ 1 & 2^2 & \cdots & n^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 2^{n-1} & \cdots & n^{n-1} \end{vmatrix}$。注意第一行不变，因为$\sum_{t=0}^{0}k^t=1$。
公式：行变换：$R_i \leftarrow R_i - R_{i-1}$
提示：行变换顺序从下往上，避免破坏已化简的行。
步骤 4/6
目标：识别范德蒙德行列式
得到的行列式是范德蒙德行列式，其中第$j$列的元素为$1, j, j^2, \ldots, j^{n-1}$，即$x_j=j$。范德蒙德行列式的值为$\prod_{1\leq i
公式：$V_n=\begin{vmatrix}1&1&\cdots&1\\x_1&x_2&\cdots&x_n\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\cdots&x_n^{n-1}\end{vmatrix}=\prod_{1\leq i
提示：注意范德蒙德行列式的标准形式，第一行全为1。
步骤 5/6
目标：代入$x_j=j$并计算乘积
代入$x_j=j$，则$D_n=\prod_{1\leq i
公式：$\prod_{1\leq i
提示：注意指数$n-m$，不要漏掉或写错。
步骤 6/6
目标：验证并给出最终答案
例如$n=2$时，$D_2=1^{1}=1$，直接计算$\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}=1$，正确。因此$D_n=\prod_{m=1}^{n-1}m^{n-m}$。
提示：验证小$n$情况可检查结果正确性。
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