湖南大学 2026年高等代数第3题
📝 题目
3．$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0 \\ x_{2}+2 x_{3}+2 x_{4}=1 \\ -x_{2}+\lambda x_{3}-2 x_{4}=\mu \\ 3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+(\lambda+3) x_{4}=-1\end{array}\right.$为 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上方程组，讨论：$\displaystyle \lambda, \mu \in \mathbb{Q}$ 时取何值时方程组有解、无解、有无
穷多解，并求解．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出增广矩阵
将方程组写成增广矩阵形式：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 1 \\
0 & -1 & \lambda & -2 & \mu \\
3 & 2 & 1 & \lambda+3 & -1
\end{pmatrix}
\]
提示：注意增广矩阵最后一列为常数项，不要遗漏符号。
步骤 2/7
目标：初等行变换（消去第4行第1列）
将第1行的-3倍加到第4行，得到：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 1 \\
0 & -1 & \lambda & -2 & \mu \\
0 & -1 & -2 & \lambda & -1
\end{pmatrix}
\]
公式：R4 = R4 - 3R1
提示：注意第4行第5列的计算：-1 - 3*0 = -1。
步骤 3/7
目标：初等行变换（消去第3、4行第2列）
将第2行加到第3行和第4行，得到：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 1 \\
0 & 0 & \lambda+2 & 0 & \mu+1 \\
0 & 0 & 0 & \lambda+2 & 0
\end{pmatrix}
\]
公式：R3 = R3 + R2, R4 = R4 + R2
提示：注意第3行第3列：λ + 2；第4行第4列：λ + 2。
步骤 4/7
目标：讨论λ≠-2时的唯一解
当λ+2≠0，即λ≠-2时，系数矩阵秩为4，方程组有唯一解。由最后两行得：
\[
(\lambda+2)x_3 = \mu+1, \quad (\lambda+2)x_4 = 0
\]
所以x_4=0，x_3=(μ+1)/(λ+2)。代入第2行：
\[
x_2 + 2x_3 + 2x_4 = 1 \Rightarrow x_2 = 1 - \frac{2(\mu+1)}{\lambda+2}
\]
代入第1行：
\[
x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0 \Rightarrow x_1 = -x_2 - x_3 = -1 + \frac{\mu+1}{\lambda+2}
\]
唯一解为：
\[
\begin{cases}
x_1 = -1 + \frac{\mu+1}{\lambda+2} \\
x_2 = 1 - \frac{2(\mu+1)}{\lambda+2} \\
x_3 = \frac{\mu+1}{\lambda+2} \\
x_4 = 0
\end{cases}
\]
提示：注意分母λ+2不能为零，解的表达式中分母相同。
步骤 5/7
目标：讨论λ=-2时的情形
当λ=-2时，增广矩阵变为：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \mu+1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
此时，若μ+1≠0，即μ≠-1，则第三行对应方程0=μ+1，无解。若μ=-1，则矩阵秩为2，小于未知数个数4，方程组有无穷多解。
提示：注意λ=-2时，第三行和第四行前四个元素全为零，需检查常数项。
步骤 6/7
目标：求解λ=-2且μ=-1时的通解
当λ=-2且μ=-1时，方程组等价于：
\[
\begin{cases}
x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0 \\
x_2 + 2x_3 + 2x_4 = 1
\end{cases}
\]
取自由变量x_3=c1，x_4=c2（c1,c2∈Q），则：
\[
x_2 = 1 - 2c_1 - 2c_2, \quad x_1 = -x_2 - c_1 - c_2 = -1 + c_1 + c_2
\]
通解为：
\[
\begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix}
+ c_1
\begin{pmatrix}
1 \\ -2 \\ 1 \\ 0
\end{pmatrix}
+ c_2
\begin{pmatrix}
1 \\ -2 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix},
\quad c_1, c_2 \in \mathbb{Q}
\]
提示：自由变量个数为未知数个数减去秩，此处为2个自由变量。注意特解和基础解系的选取。
步骤 7/7
目标：总结结论
综上所述：
- 当λ≠-2时，方程组有唯一解；
- 当λ=-2且μ≠-1时，方程组无解；
- 当λ=-2且μ=-1时，方程组有无穷多解。
提示：注意λ和μ的取值范围是全体有理数。
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