湖南师范大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
1．若 $p(x)$ 是不可约多项式且 $p^{5}(x) \mid f^{2}(x)$ ，是否一定有：$p^{3}(x) \mid f(x)$ ，为什么？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题意并设出分解形式
设 $p(x)$ 是不可约多项式，且 $p^5(x) \mid f^2(x)$。由于 $p(x)$ 不可约，可将 $f(x)$ 分解为 $f(x) = p^a(x) g(x)$，其中 $a \geq 0$ 为整数，且 $p(x) \nmid g(x)$。
公式：$f(x) = p^a(x) g(x)$
提示：注意 $g(x)$ 与 $p(x)$ 互质，即 $p(x)$ 不整除 $g(x)$。
步骤 2/5
目标：计算 $f^2(x)$ 中 $p(x)$ 的指数
将 $f(x)$ 的分解代入 $f^2(x)$ 得：$f^2(x) = [p^a(x) g(x)]^2 = p^{2a}(x) g^2(x)$。由于 $p(x) \nmid g(x)$，故 $p(x) \nmid g^2(x)$，因此 $p(x)$ 在 $f^2(x)$ 中的指数就是 $2a$。
公式：$f^2(x) = p^{2a}(x) g^2(x)$
提示：注意 $g^2(x)$ 与 $p(x)$ 仍互质。
步骤 3/5
目标：利用整除条件得到指数不等式
由条件 $p^5(x) \mid f^2(x)$ 可知，$p(x)$ 在 $f^2(x)$ 中的指数至少为 5，即 $2a \geq 5$。
公式：$2a \geq 5$
提示：整除意味着指数不小于。
步骤 4/5
目标：解不等式求出 $a$ 的范围
解 $2a \geq 5$ 得 $a \geq 2.5$。由于 $a$ 是整数，所以 $a \geq 3$。
公式：$a \geq 3$
提示：注意 $a$ 是整数，不能取小数。
步骤 5/5
目标：得出结论
由 $a \geq 3$ 可知 $f(x) = p^a(x) g(x)$ 中 $p(x)$ 的指数至少为 3，即 $p^3(x) \mid f(x)$。因此，一定有 $p^3(x) \mid f(x)$。
公式：$p^3(x) \mid f(x)$
提示：结论是肯定的，与题目中的“不一定”相反。
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