湖南师范大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
2．若 $A$ 和 $B$ 都是 $n$ 阶正交矩阵，则 $A+B, A B, A^{-1}$ 中哪些必是正交矩阵，为什么？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：回顾正交矩阵的定义和性质
正交矩阵：若 $n$ 阶实矩阵 $Q$ 满足 $Q^T Q = I$（或 $Q Q^T = I$），则 $Q$ 为正交矩阵。性质：$Q^{-1} = Q^T$，且 $\det(Q) = \pm 1$。
公式：Q^T Q = I
提示：注意正交矩阵必须是实矩阵，且定义中 $Q^T Q = I$ 与 $Q Q^T = I$ 等价。
步骤 2/5
目标：判断 $A+B$ 是否为正交矩阵
计算 $(A+B)^T (A+B)$：
$(A+B)^T (A+B) = (A^T + B^T)(A + B) = A^T A + A^T B + B^T A + B^T B = I + A^T B + B^T A + I = 2I + (A^T B + B^T A)$。
要使 $A+B$ 为正交矩阵，需 $(A+B)^T (A+B) = I$，即 $2I + (A^T B + B^T A) = I$，从而 $A^T B + B^T A = -I$。但一般情况下此式不成立，例如 $A = I$，$B = I$，则 $A+B = 2I$，$(2I)^T (2I) = 4I \neq I$。故 $A+B$ 不一定是正交矩阵。
公式：(A+B)^T (A+B) = 2I + A^T B + B^T A
提示：注意展开时不要漏项，且 $A^T B$ 与 $B^T A$ 不一定相等。
步骤 3/5
目标：判断 $AB$ 是否为正交矩阵
计算 $(AB)^T (AB)$：
$(AB)^T (AB) = B^T A^T A B = B^T (A^T A) B = B^T I B = B^T B = I$。
因此 $AB$ 满足正交矩阵的定义，故 $AB$ 是正交矩阵。
公式：(AB)^T (AB) = I
提示：注意矩阵乘法顺序：$(AB)^T = B^T A^T$，且 $A^T A = I$ 和 $B^T B = I$ 要正确使用。
步骤 4/5
目标：判断 $A^{-1}$ 是否为正交矩阵
由于 $A$ 为正交矩阵，有 $A^{-1} = A^T$。计算 $(A^{-1})^T (A^{-1})$：
$(A^{-1})^T (A^{-1}) = (A^T)^T A^T = A A^T = I$。
因此 $A^{-1}$ 也是正交矩阵。
公式：(A^{-1})^T (A^{-1}) = I
提示：注意 $A^{-1} = A^T$ 是正交矩阵的重要性质，但需先确认 $A$ 可逆。
步骤 5/5
目标：总结结论
综上所述：
- $A+B$ 不一定是正交矩阵，因为 $(A+B)^T (A+B) = 2I + A^T B + B^T A$，一般不等于 $I$。
- $AB$ 必是正交矩阵，因为 $(AB)^T (AB) = I$。
- $A^{-1}$ 必是正交矩阵，因为 $(A^{-1})^T (A^{-1}) = I$。
提示：注意区分充分条件和必要条件，$A+B$ 在特殊情况下可能是正交矩阵，但题目问的是“必是”，所以回答“不一定”。
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