湖南师范大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
3．$R^{2}$ 上的线性变换 $\mathbf{A} ; \mathbf{A}(x, y)=(x-3 y, 2 x-y)$ 是否可以对角化？为什么？
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：求线性变换在标准基下的矩阵
标准基为 $\mathbf{e}_1=(1,0)$, $\mathbf{e}_2=(0,1)$。计算 $\mathbf{A}(1,0) = (1-3\cdot0, 2\cdot1-0) = (1,2)$，$\mathbf{A}(0,1) = (0-3\cdot1, 2\cdot0-1) = (-3,-1)$。因此矩阵为 $A = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$。
公式：$\mathbf{A}(x,y) = (x-3y, 2x-y)$
提示：注意基向量的顺序：第一列是$\mathbf{A}(1,0)$，第二列是$\mathbf{A}(0,1)$。
步骤 2/6
目标：求特征多项式
特征多项式为 $\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 1-\lambda & -3 \\ 2 & -1-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)(-1-\lambda) - (-3)\cdot2 = -(1-\lambda)(1+\lambda) + 6 = -(1-\lambda^2) + 6 = \lambda^2 -1 + 6 = \lambda^2 + 5$。
公式：$\det(A - \lambda I) = \lambda^2 + 5$
提示：计算行列式时注意符号，避免漏乘或符号错误。
步骤 3/6
目标：求解特征值
令特征多项式等于零：$\lambda^2 + 5 = 0$，解得 $\lambda = \pm \sqrt{5}i$，均为虚数。
公式：$\lambda^2 + 5 = 0 \Rightarrow \lambda = \pm \sqrt{5}i$
提示：在实数域中，判别式小于0时特征值为复数。
步骤 4/6
目标：判断在实数域上的可对角化性
由于特征值不是实数，在实数域 $\mathbb{R}$ 上，矩阵 $A$ 没有实特征值，因此不可对角化。
提示：可对角化的前提是特征值都在所考虑的域中。
步骤 5/6
目标：考虑复数域上的情况
在复数域 $\mathbb{C}$ 上，有两个不同的特征值 $\sqrt{5}i$ 和 $-\sqrt{5}i$，因此矩阵可对角化。但题目中线性变换定义在 $\mathbb{R}^2$ 上，通常考虑实数域。
提示：注意题目中线性变换的定义域是 $\mathbb{R}^2$，默认在实数域讨论。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，在实数域上，线性变换 $\mathbf{A}$ 不可对角化。
提示：最终答案需明确域：实数域上不可对角化。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。