湖南师范大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
4．若 $A$ 是对称矩阵且实二次型 $f=X^{\mathrm{T}} A X$ 正定，则二次型 $f=X^{\mathrm{T}} A^{-1} X$ 一定正定吗？为什么？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解正定二次型的定义
已知实二次型 $f = X^{\mathrm{T}} A X$ 正定，即对任意非零向量 $X \in \mathbb{R}^n$，有 $X^{\mathrm{T}} A X > 0$。同时 $A$ 是对称矩阵，因此 $A$ 是对称正定矩阵。
公式：X^{\mathrm{T}} A X > 0, \forall X \neq 0
提示：注意正定性要求对所有非零向量成立，而不仅仅是某些向量。
步骤 2/5
目标：推导 $A^{-1}$ 的对称正定性
由于 $A$ 对称正定，则 $A$ 可逆，且 $A^{-1}$ 也是对称矩阵。事实上，$(A^{-1})^{\mathrm{T}} = (A^{\mathrm{T}})^{-1} = A^{-1}$。另外，$A^{-1}$ 的特征值是 $A$ 的特征值的倒数，均大于0，故 $A^{-1}$ 也正定。
公式：(A^{-1})^{\mathrm{T}} = A^{-1}, \quad \lambda_i(A^{-1}) = 1/\lambda_i(A) > 0
提示：对称正定矩阵的逆矩阵也是对称正定的，这是常用性质。
步骤 3/5
目标：构造变量替换
考虑二次型 $g(X) = X^{\mathrm{T}} A^{-1} X$。为了利用已知的正定性，令 $Y = A^{-1} X$，则 $X = A Y$。由于 $A$ 可逆，当 $X \neq 0$ 时，$Y \neq 0$。
公式：Y = A^{-1} X, \quad X = A Y
提示：变量替换时注意可逆性保证非零向量对应非零向量。
步骤 4/5
目标：代入并化简
将 $X = A Y$ 代入 $g(X)$ 得：
$$g(X) = X^{\mathrm{T}} A^{-1} X = (A Y)^{\mathrm{T}} A^{-1} (A Y) = Y^{\mathrm{T}} A^{\mathrm{T}} A^{-1} A Y.$$
由于 $A$ 对称，$A^{\mathrm{T}} = A$，且 $A^{-1} A = I$，因此
$$g(X) = Y^{\mathrm{T}} A Y.$$
公式：(A Y)^{\mathrm{T}} A^{-1} (A Y) = Y^{\mathrm{T}} A^{\mathrm{T}} A^{-1} A Y = Y^{\mathrm{T}} A Y
提示：注意矩阵乘法顺序，不要遗漏转置。
步骤 5/5
目标：利用已知正定性得出结论
由于 $Y \neq 0$ 且 $A$ 正定，有 $Y^{\mathrm{T}} A Y > 0$。因此 $g(X) = X^{\mathrm{T}} A^{-1} X > 0$ 对任意非零 $X$ 成立，故二次型 $f = X^{\mathrm{T}} A^{-1} X$ 正定。
公式：Y^{\mathrm{T}} A Y > 0 \Rightarrow X^{\mathrm{T}} A^{-1} X > 0
提示：结论是肯定的，但需注意推导中每一步的等价性。
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