湖南师范大学 2023年高等代数第0题

在3维欧氏空间$V$中，是否存在4个非零向量，使得任意两个向量的夹角都等于$\theta$，其中$\cos\theta = -\frac{1}{3}$？我们假设存在这样的向量组，并设它们为$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_4$。由于夹角相等，可设$\langle \mathbf{v}_i, \mathbf{v}_j \rangle = c$（常数）对$i \neq j$，且可归一化使得$\langle \mathbf{v}_i, \mathbf{v}_i \rangle = 1$。则$c = \cos\theta = -\frac{1}{3}$。

考虑这4个向量的Gram矩阵$G$，其元素为$G_{ij} = \langle \mathbf{v}_i, \mathbf{v}_j \rangle$。因此$G$是一个$4\times 4$矩阵，主对角线元素为1，非对角线元素为$c = -\frac{1}{3}$。即 $$G = \begin{pmatrix} 1 & c & c & c \\ c & 1 & c & c \\ c & c & 1 & c \\ c & c & c & 1 \end{pmatrix}.$$

矩阵$G$可以写成$G = (1-c)I + cJ$，其中$J$是元素全为1的$4\times 4$矩阵。$J$的特征值为4（重数1）和0（重数3）。因此$G$的特征值为$\lambda_1 = (1-c) + 4c = 1+3c$（重数1），$\lambda_2 = 1-c$（重数3）。代入$c = -\frac{1}{3}$，得$\lambda_1 = 1+3(-\frac{1}{3}) = 0$，$\lambda_2 = 1-(-\frac{1}{3}) = \frac{4}{3}$。

Gram矩阵$G$的秩等于非零特征值的个数。由于$\lambda_1=0$，$\lambda_2=\frac{4}{3}>0$，所以$G$有3个正特征值，秩为3。这意味着这4个向量张成的空间维数为3，因此它们可以存在于3维欧氏空间中。同时，$G$半正定，满足要求。

在3维空间中，取正四面体的四个顶点到中心的向量。例如，取向量 $$\mathbf{v}_1 = (1,1,1), \mathbf{v}_2 = (1,-1,-1), \mathbf{v}_3 = (-1,1,-1), \mathbf{v}_4 = (-1,-1,1)$$ 并归一化。这些向量两两内积为$-1$（因为点积为$1\cdot1+1\cdot(-1)+1\cdot(-1) = -1$等），模长为$\sqrt{3}$，因此夹角余弦为$-1/3$。所以存在这样的4个非零向量。

存在4个非零向量，使得任意两个向量的夹角都等于$\theta$，其中$\cos\theta = -\frac{1}{3}$。这是因为Gram矩阵秩为3，且可以构造出具体例子。