湖南师范大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
12．设实二次型 $f=\sum_{i, j=1}^{n} a_{i j} x_{i} x_{j}, g=\sum_{i, j=1}^{n} b_{i j} x_{i} x_{j}$ 是半正定的，且 $f$ 的秩等于 1 ，证明二次型
$$
h=\sum_{i, j=1}^{n} a_{i j} b_{i j} x_{i} x_{j}
$$
也是半正定的。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用半正定且秩为1的条件表示f
由于$f$是半正定且秩为1，存在非零向量$\alpha = (c_1, c_2, \dots, c_n)^T$使得$f(x) = (\alpha^T x)^2 = \sum_{i,j=1}^n c_i c_j x_i x_j$，从而$a_{ij} = c_i c_j$。
公式：$f(x) = (\alpha^T x)^2$
提示：注意秩为1的半正定二次型可以写成一个线性形式的平方。
步骤 2/5
目标：将h用c和b表示
代入$a_{ij} = c_i c_j$，得$h(x) = \sum_{i,j=1}^n a_{ij} b_{ij} x_i x_j = \sum_{i,j=1}^n c_i c_j b_{ij} x_i x_j$。
公式：$h(x) = \sum_{i,j} c_i c_j b_{ij} x_i x_j$
提示：注意求和指标，不要混淆。
步骤 3/5
目标：构造向量y
定义向量$y = (c_1 x_1, c_2 x_2, \dots, c_n x_n)^T$，则$h(x) = \sum_{i,j} b_{ij} y_i y_j = y^T B y$，其中$B = (b_{ij})$是$g$的矩阵。
公式：$y = (c_1 x_1, \dots, c_n x_n)^T$，$h(x) = y^T B y$
提示：注意$y$的分量是$c_i x_i$，而不是$c_i$与$x$的乘积。
步骤 4/5
目标：利用g的半正定性
因为$g$是半正定的，所以矩阵$B$是半正定矩阵，即对任意向量$y \in \mathbb{R}^n$，有$y^T B y \geq 0$。
公式：$y^T B y \geq 0$
提示：半正定矩阵的定义：所有特征值非负，或对所有向量有二次型非负。
步骤 5/5
目标：证明h半正定
对于任意$x \in \mathbb{R}^n$，由上述构造得到$y$，且$h(x) = y^T B y \geq 0$，因此$h$是半正定的。
提示：注意$y$依赖于$x$，但$B$半正定保证了对所有$y$非负，从而对所有$x$有$h(x)\geq 0$。
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