湖南师范大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
13．设 A 是 $n$ 维欧氏空间 V 的一个正交变换， W 是 $\mathbf{A}$ 的不变子空间。证明：
（1） W 中任何向量在 A 下的原像一定还在 W 中，
（2）$W$ 的正交补 $W^{\perp}$ 也是 $\mathbf{A}$ 的不变子空间。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件
设 $A$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的正交变换，$W$ 是 $A$ 的不变子空间，即 $A(W) \subseteq W$。
提示：注意正交变换的定义：保持内积的线性变换，且可逆，逆等于伴随。
步骤 2/6
目标：证明(1)：原像在W中
要证：对任意 $\alpha \in W$，若存在 $\beta \in V$ 使得 $A\beta = \alpha$，则 $\beta \in W$。由于 $A$ 是正交变换，故 $A$ 可逆，且 $A^{-1} = A^*$。由 $A\beta = \alpha$ 得 $\beta = A^{-1}\alpha$。因为 $W$ 是 $A$ 的不变子空间，所以 $A(W) \subseteq W$。又 $A$ 可逆，限制在 $W$ 上，$A|_W$ 是 $W$ 到自身的可逆线性变换（因为 $A$ 是单射，且 $W$ 有限维，$A|_W$ 是单射，从而满射）。因此 $A^{-1}(W) \subseteq W$，即 $\beta = A^{-1}\alpha \in W$。
公式：$\beta = A^{-1}\alpha$
提示：注意利用正交变换的可逆性以及不变子空间上限制变换的可逆性。
步骤 3/6
目标：证明(2)：正交补是不变子空间
要证：$W^\perp$ 也是 $A$ 的不变子空间，即 $A(W^\perp) \subseteq W^\perp$。任取 $\beta \in W^\perp$，需证 $A\beta \in W^\perp$，即对任意 $\alpha \in W$，有 $\langle A\beta, \alpha \rangle = 0$。
提示：明确要证明的目标：对任意 $\alpha \in W$，内积为零。
步骤 4/6
目标：利用正交变换保持内积
由于 $A$ 是正交变换，保持内积：$\langle A\beta, \alpha \rangle = \langle \beta, A^{-1}\alpha \rangle$。
公式：$\langle A\beta, \alpha \rangle = \langle \beta, A^{-1}\alpha \rangle$
提示：正交变换的定义：$\langle A\xi, A\eta \rangle = \langle \xi, \eta \rangle$，由此可推出 $\langle A\beta, \alpha \rangle = \langle \beta, A^{-1}\alpha \rangle$。
步骤 5/6
目标：应用(1)的结论
由 (1) 知，$A^{-1}\alpha \in W$（因为 $\alpha \in W$，且 $A^{-1}(W) \subseteq W$）。而 $\beta \in W^\perp$，故 $\langle \beta, A^{-1}\alpha \rangle = 0$。因此 $\langle A\beta, \alpha \rangle = 0$，即 $A\beta \in W^\perp$。所以 $W^\perp$ 是 $A$ 的不变子空间。
提示：注意(1)的结论是 $A^{-1}(W) \subseteq W$，这里直接使用。
步骤 6/6
目标：总结
综上，$W$ 中任何向量在 $A$ 下的原像仍在 $W$ 中，且 $W^\perp$ 也是 $A$ 的不变子空间。
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