湖南师范大学 2023年高等代数第0题

已知 $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4$ 线性无关，且 $\alpha_1 - 3\alpha_2 + 3\alpha_3 = \alpha_4$，即 $\alpha_1 - 3\alpha_2 + 3\alpha_3 - \alpha_4 = 0$。由此可知 $\alpha_2$ 可由 $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4$ 线性表示：$\alpha_2 = \frac{1}{3}(\alpha_1 + 3\alpha_3 - \alpha_4)$。因此向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 的秩为3，且 $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4$ 是一个极大线性无关组。

将 $\beta = 4\alpha_1 + 3\alpha_2 + 2\alpha_3 + \alpha_4$ 中的 $\alpha_2$ 用 $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4$ 表示：$\beta = 4\alpha_1 + 3\cdot\frac{1}{3}(\alpha_1 + 3\alpha_3 - \alpha_4) + 2\alpha_3 + \alpha_4 = 5\alpha_1 + 5\alpha_3$。注意 $\alpha_4$ 的系数为0，因此 $\beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_3$ 线性表示。

方程组 $AX = \beta$ 即 $x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + x_3\alpha_3 + x_4\alpha_4 = \beta$。由 $\beta = 5\alpha_1 + 5\alpha_3$，可取特解 $\eta^* = (5, 0, 5, 0)^T$，因为 $5\alpha_1 + 0\alpha_2 + 5\alpha_3 + 0\alpha_4 = 5\alpha_1 + 5\alpha_3 = \beta$。

齐次方程组 $AX=0$ 的系数矩阵秩为3，未知数个数为4，故基础解系含1个向量。由 $\alpha_1 - 3\alpha_2 + 3\alpha_3 - \alpha_4 = 0$ 知，$\xi = (1, -3, 3, -1)^T$ 是一个非零解，且所有解都是它的倍数，因此基础解系为 $\xi$。

非齐次线性方程组的通解等于特解加上齐次方程组的通解。因此通解为 $X = \eta^* + k\xi$，其中 $k$ 为任意常数。即 $X = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad k \in \mathbb{R}$。