湖南师范大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
7．计算 $n$ 阶行列式
$$
D_{n}=\left|\begin{array}{ccccc}
d & b & \cdots & b & b \\
c & a & \cdots & b & b \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
c & c & \cdots & a & b \\
c & c & \cdots & c & a
\end{array}\right|
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：行变换简化行列式
将第2至n行都减去第1行，得到：
$$D_n = \begin{vmatrix} d & b & b & \cdots & b & b \\ c-d & a-b & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ c-d & 0 & a-b & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ c-d & 0 & 0 & \cdots & a-b & 0 \\ c-d & 0 & 0 & \cdots & 0 & a-b \end{vmatrix}$$
公式：行变换：$R_i - R_1 \to R_i$ ($i=2,\dots,n$)
提示：注意第一行保持不变，其他行减去第一行后，第一列元素变为$c-d$，对角线上除第一行外变为$a-b$，其余元素变为0。
步骤 2/7
目标：按最后一列展开
按第n列展开，得到两个子行列式：
$$D_n = (a-b) \begin{vmatrix} d & b & b & \cdots & b \\ c-d & a-b & 0 & \cdots & 0 \\ c-d & 0 & a-b & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c-d & 0 & 0 & \cdots & a-b \end{vmatrix}_{(n-1)\times (n-1)} + (-1)^{n+1} b \begin{vmatrix} c-d & a-b & 0 & \cdots & 0 \\ c-d & 0 & a-b & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c-d & 0 & 0 & \cdots & a-b \\ c-d & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{vmatrix}_{(n-1)\times (n-1)}$$
公式：按第n列展开：$D_n = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+n} a_{in} M_{in}$
提示：注意符号：第n列元素中，第1行元素为b，其余行元素为0（除了第n行？实际上第n行第n列是a-b，但展开时需区分）。这里第n列只有第1行和第n行非零，分别对应b和a-b。
步骤 3/7
目标：计算第二个子行列式
第二个子行列式是$(n-1)$阶下三角矩阵，最后一行为$(c-d,0,\dots,0)$。按最后一行展开，得：
$$\begin{vmatrix} c-d & a-b & 0 & \cdots & 0 \\ c-d & 0 & a-b & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c-d & 0 & 0 & \cdots & a-b \\ c-d & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{vmatrix} = (-1)^{(n-1)+1} (c-d) \cdot (a-b)^{n-2} = (-1)^n (c-d)(a-b)^{n-2}$$
公式：下三角行列式等于对角线元素乘积；按行展开公式
提示：注意符号：最后一行第1列元素$c-d$的代数余子式符号为$(-1)^{(n-1)+1}=(-1)^n$，余子式是上三角矩阵，值为$(a-b)^{n-2}$。
步骤 4/7
目标：建立递推关系
将第二个子行列式的结果代入，得到递推关系：
$$D_n = (a-b) D_{n-1} + (-1)^{n+1} b \cdot (-1)^n (c-d)(a-b)^{n-2} = (a-b) D_{n-1} - b(c-d)(a-b)^{n-2}$$其中$D_{n-1}$是左上角$(n-1)$阶行列式，结构与$D_n$相同。初始条件：$D_1 = d$。
公式：$D_n = (a-b) D_{n-1} - b(c-d)(a-b)^{n-2}$
提示：注意$D_{n-1}$的定义：它是原行列式去掉第1行和第1列后的子式，但结构相同（第一行第一列元素为d，其余类似）。
步骤 5/7
目标：求解递推关系（$a \neq b$）
令$D_n = (a-b)^n u_n$，代入递推式得：
$$(a-b)^n u_n = (a-b)^n u_{n-1} - b(c-d)(a-b)^{n-2}$$两边除以$(a-b)^{n-2}$得：
$$(a-b)^2 u_n = (a-b)^2 u_{n-1} - b(c-d)$$即$u_n = u_{n-1} - \frac{b(c-d)}{(a-b)^2}$。所以$\{u_n\}$是等差数列，公差为$-\frac{b(c-d)}{(a-b)^2}$。由$D_1 = d = (a-b) u_1$得$u_1 = \frac{d}{a-b}$。因此：
$$u_n = \frac{d}{a-b} - (n-1) \frac{b(c-d)}{(a-b)^2}$$故：
$$D_n = (a-b)^n \left[ \frac{d}{a-b} - (n-1) \frac{b(c-d)}{(a-b)^2} \right] = d(a-b)^{n-1} - (n-1) b(c-d)(a-b)^{n-2}$$
公式：等差数列通项公式
提示：注意除以$(a-b)^{n-2}$时假设$a \neq b$，否则需单独处理。
步骤 6/7
目标：讨论$a = b$的情况
当$a=b$时，原行列式为：
$$D_n = \begin{vmatrix} d & a & \cdots & a \\ c & a & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c & c & \cdots & a \end{vmatrix}$$将第2至n行都减去第1行，得：
$$D_n = \begin{vmatrix} d & a & a & \cdots & a \\ c-d & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ c-d & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c-d & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{vmatrix}$$按第1列展开，得$D_n = d \cdot 0^{n-1} + (c-d) \cdot (-1)^{2+1} \cdot \begin{vmatrix} a & a & \cdots & a \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{vmatrix}_{(n-1)\times (n-1)}$。当$n>2$时，该行列式有两行全零，值为0；当$n=2$时，直接计算得$D_2 = a(d-c)$。统一公式为$D_n = a^{n-1}(d-c)$（$n \ge 2$）。
公式：行变换；按第一列展开
提示：注意$0^{n-1}$当$n=1$时无定义，但$n\ge2$。另外，当$n=2$时，展开后余子式为1阶行列式$a$，符号为$(-1)^{3}=-1$，故$D_2 = d \cdot 0 + (c-d)(-1) \cdot a = a(d-c)$，与公式一致。
步骤 7/7
目标：综合结果
综上，行列式的值为：
$$D_n = \begin{cases} d(a-b)^{n-1} - (n-1) b(c-d)(a-b)^{n-2}, & a \neq b \\ a^{n-1}(d-c), & a = b \end{cases}$$注意：当$a=b$时，第一个公式形式为$0/0$不定式，但极限存在且等于第二个公式。
提示：结果需分情况讨论，注意$a=b$时公式的简洁形式。
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