湖南师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
1．两个 $n$ 阶正定矩阵的和是否正定？为什么？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解正定矩阵的定义
一个 $n$ 阶实对称矩阵 $M$ 称为正定矩阵，如果对于任意非零列向量 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$，都有 $\mathbf{x}^T M \mathbf{x} > 0$。
公式：\mathbf{x}^T M \mathbf{x} > 0, \forall \mathbf{x} \neq \mathbf{0}
提示：注意正定矩阵必须是对称矩阵，但题目中通常默认对称性，或者由正定性可推出对称性（在实数域中，通常定义正定矩阵为对称的）。
步骤 2/6
目标：设出两个正定矩阵
设 $A$ 和 $B$ 是两个 $n$ 阶正定矩阵。根据定义，对于任意非零向量 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$，有 $\mathbf{x}^T A \mathbf{x} > 0$ 和 $\mathbf{x}^T B \mathbf{x} > 0$。
提示：确保 $A$ 和 $B$ 都是对称的，但证明中不需要显式使用对称性，因为二次型定义中通常隐含对称性。
步骤 3/6
目标：考虑和矩阵的二次型
考虑矩阵 $A+B$ 的二次型：对于任意非零向量 $\mathbf{x}$，计算 $\mathbf{x}^T (A+B) \mathbf{x}$。
公式：\mathbf{x}^T (A+B) \mathbf{x}
提示：注意矩阵加法的二次型可以拆分为两个二次型的和。
步骤 4/6
目标：展开二次型
利用矩阵乘法的分配律，有 $\mathbf{x}^T (A+B) \mathbf{x} = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} + \mathbf{x}^T B \mathbf{x}$。
公式：\mathbf{x}^T (A+B) \mathbf{x} = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} + \mathbf{x}^T B \mathbf{x}
提示：这一步是线性运算，没有陷阱，但要注意向量和矩阵维数匹配。
步骤 5/6
目标：利用正定性判断正负
由于 $A$ 和 $B$ 正定，所以 $\mathbf{x}^T A \mathbf{x} > 0$ 且 $\mathbf{x}^T B \mathbf{x} > 0$。因此，它们的和 $\mathbf{x}^T A \mathbf{x} + \mathbf{x}^T B \mathbf{x} > 0$。
提示：两个正数之和必为正数，这是显然的。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，对于任意非零向量 $\mathbf{x}$，有 $\mathbf{x}^T (A+B) \mathbf{x} > 0$，根据正定矩阵的定义，$A+B$ 是正定矩阵。
提示：注意结论成立的前提是 $A$ 和 $B$ 都是正定矩阵，且阶数相同。
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