湖南师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
2．若多项式 $f(x)$ 与 $g(x)$ 互素，那么 $f\left(x^{2}\right)$ 与 $g\left(x^{2}\right)$ 是否互素？为什么？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解互素定义
两个多项式 $f(x)$ 与 $g(x)$ 互素，当且仅当存在多项式 $u(x), v(x)$ 使得 $u(x)f(x) + v(x)g(x) = 1$。这是多项式互素的充要条件。
公式：u(x)f(x) + v(x)g(x) = 1
提示：注意互素定义中的多项式系数需在相同数域中，通常为有理数域或复数域。
步骤 2/5
目标：代入变量替换
将互素等式中的变量 $x$ 替换为 $x^2$，得到 $u(x^2)f(x^2) + v(x^2)g(x^2) = 1$。由于 $u(x)$ 和 $v(x)$ 是多项式，$u(x^2)$ 和 $v(x^2)$ 仍然是 $x$ 的多项式。
公式：u(x^2)f(x^2) + v(x^2)g(x^2) = 1
提示：替换后要确认 $u(x^2)$ 和 $v(x^2)$ 确实是多项式，例如 $u(x)=x+1$ 则 $u(x^2)=x^2+1$。
步骤 3/5
目标：推导互素结论
由等式 $u(x^2)f(x^2) + v(x^2)g(x^2) = 1$ 可知，存在多项式 $U(x)=u(x^2)$ 和 $V(x)=v(x^2)$ 使得 $U(x)f(x^2) + V(x)g(x^2) = 1$。根据互素定义，$f(x^2)$ 与 $g(x^2)$ 互素。
提示：注意这里 $U(x)$ 和 $V(x)$ 是 $x$ 的多项式，因此满足互素定义的条件。
步骤 4/5
目标：分析反例可能性
考虑反例：$f(x)=x$，$g(x)=x+1$。存在 $u(x)=1$，$v(x)=-1$ 使得 $1\cdot x + (-1)\cdot(x+1) = -1$，但常数不是1。实际上，需要 $u(x)f(x)+v(x)g(x)=1$，这里可解出 $u(x)=1, v(x)=-1$ 得到 $-1$，乘以 $-1$ 得 $(-1)\cdot x + 1\cdot(x+1)=1$，所以 $u(x)=-1, v(x)=1$ 是多项式。代入 $x^2$ 得 $-1\cdot x^2 + 1\cdot(x^2+1)=1$，故 $f(x^2)$ 与 $g(x^2)$ 互素。
提示：注意互素定义要求等式右边为1，常数多项式系数可以是任意非零常数，但必须为1。
步骤 5/5
目标：总结结论
因此，若 $f(x)$ 与 $g(x)$ 互素，则 $f(x^2)$ 与 $g(x^2)$ 一定互素。证明的关键在于将互素等式中的变量替换为 $x^2$，得到的新等式仍然成立，且新多项式系数不变。
提示：该结论对任意数域都成立，因为替换不改变系数域。
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