湖南师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
3．若 3 阶非零方阵的所有二阶余子式均等于 0 ，那么其秩是多少？为什么？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析秩的可能范围
设 $A$ 为 $3$ 阶非零方阵，且所有二阶余子式均为 $0$。由于 $A$ 非零，其秩至少为 $1$。秩的可能取值为 $0,1,2,3$，但 $0$ 对应零矩阵，与条件矛盾，故秩只能为 $1,2,3$ 之一。
提示：注意非零矩阵的秩至少为1。
步骤 2/5
目标：排除秩为3的情况
若 $\operatorname{rank}(A)=3$，则 $A$ 可逆，其行列式 $\det(A)\neq 0$。但行列式可展开为某行元素与对应代数余子式的乘积，而代数余子式与余子式仅相差符号，且所有二阶余子式为 $0$ 意味着所有代数余子式也为 $0$，从而 $\det(A)=0$，矛盾。因此秩不能为 $3$。
公式：$\det(A)=\sum_{j=1}^3 a_{ij}A_{ij}$，其中 $A_{ij}$ 为代数余子式
提示：注意代数余子式与余子式的关系：$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$，$M_{ij}=0$ 则 $A_{ij}=0$。
步骤 3/5
目标：排除秩为2的情况
若 $\operatorname{rank}(A)=2$，则 $A$ 至少有一个 $2$ 阶子式非零。而 $2$ 阶子式就是某个二阶余子式（可能相差符号），因此存在某个二阶余子式非零，与条件“所有二阶余子式均为 $0$”矛盾。故秩不能为 $2$。
提示：注意二阶子式与二阶余子式的区别：余子式是去掉一行一列后的子式，但二阶子式可以是任意两行两列的交点，而余子式是去掉某行某列后的子式，两者本质相同，只是选取方式不同。
步骤 4/5
目标：验证秩为1满足条件
若 $\operatorname{rank}(A)=1$，则 $A$ 的所有 $2$ 阶子式均为 $0$，特别地，所有二阶余子式（即去掉一行一列后的 $2$ 阶子式）均为 $0$。同时 $A$ 非零，满足题目条件。
提示：秩为1的矩阵可表示为 $A=uv^T$，其中 $u,v$ 为非零列向量，此时任意二阶子式均为0。
步骤 5/5
目标：总结秩的取值
综合以上分析，秩不能为 $0,2,3$，只能为 $1$。因此 $\operatorname{rank}(A)=1$。
提示：注意秩为0的情况已被非零条件排除。
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