湖南师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
4．正交矩阵的复特征值一定是 -1 或 1 吗？为什么？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：明确问题：正交矩阵的复特征值是否一定是-1或1？
题目问：正交矩阵的复特征值是否一定是-1或1？答案是否定的。正交矩阵的特征值可以是模为1的任何复数，例如$i$或$e^{i\pi/3}$等，不一定为实数$\pm 1$。
提示：注意区分实特征值和复特征值。正交矩阵的实特征值只能是$\pm 1$，但复特征值可以是模为1的任意复数。
步骤 2/8
目标：设正交矩阵和特征值特征向量
设$Q$是$n$阶正交矩阵，满足$Q^T Q = I$。设$\lambda$是$Q$的一个复特征值，对应的特征向量为$\mathbf{v} \in \mathbb{C}^n$，且$\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$，则有$Q\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$。
公式：Q^T Q = I, \quad Q\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}
提示：特征向量是复向量，不要误以为特征向量是实向量。
步骤 3/8
目标：对特征方程取共轭转置
对等式$Q\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$两边取共轭转置（Hermitian转置），得到$(Q\mathbf{v})^* = \mathbf{v}^* Q^T = \bar{\lambda} \mathbf{v}^*$。因为$Q$是实矩阵，所以$Q^* = Q^T$。
公式：(Q\mathbf{v})^* = \mathbf{v}^* Q^T = \bar{\lambda} \mathbf{v}^*
提示：注意共轭转置的运算规则：$(AB)^* = B^* A^*$，且实矩阵的共轭转置就是转置。
步骤 4/8
目标：利用正交矩阵性质$Q^T = Q^{-1}$
由于$Q$是正交矩阵，有$Q^T = Q^{-1}$。代入上式得$\mathbf{v}^* Q^{-1} = \bar{\lambda} \mathbf{v}^*$。
公式：Q^T = Q^{-1}
提示：正交矩阵的定义是$Q^T Q = I$，因此$Q^T = Q^{-1}$。
步骤 5/8
目标：两边右乘$Q\mathbf{v}$并化简
将等式$\mathbf{v}^* Q^{-1} = \bar{\lambda} \mathbf{v}^*$两边右乘$Q\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$，得到$\mathbf{v}^* Q^{-1} Q \mathbf{v} = \bar{\lambda} \mathbf{v}^* \lambda \mathbf{v}$，即$\mathbf{v}^* \mathbf{v} = \bar{\lambda} \lambda \mathbf{v}^* \mathbf{v}$。
公式：\mathbf{v}^* \mathbf{v} = |\lambda|^2 \mathbf{v}^* \mathbf{v}
提示：注意$\bar{\lambda} \lambda = |\lambda|^2$，且$Q^{-1}Q = I$。
步骤 6/8
目标：推导出$|\lambda|=1$
由$\mathbf{v}^* \mathbf{v} = |\lambda|^2 \mathbf{v}^* \mathbf{v}$，移项得$(1 - |\lambda|^2) \mathbf{v}^* \mathbf{v} = 0$。因为$\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$，所以$\mathbf{v}^* \mathbf{v} = \|\mathbf{v}\|^2 > 0$，因此$1 - |\lambda|^2 = 0$，即$|\lambda| = 1$。
公式：|\lambda| = 1
提示：不要忘记$\mathbf{v}^* \mathbf{v}$是正实数，因为它是向量各分量模平方和。
步骤 7/8
目标：结论：特征值模为1，但不一定是$\pm 1$
因此，正交矩阵的复特征值的模必须为1，即$\lambda = e^{i\theta}$，其中$\theta \in \mathbb{R}$。例如$\lambda = i$（模为1）是可能的，但$i$不是$\pm 1$。所以正交矩阵的复特征值不一定是-1或1。
公式：\lambda = e^{i\theta}, \quad \theta \in \mathbb{R}
提示：注意：如果正交矩阵还是对称的（即实对称正交矩阵），则特征值只能是$\pm 1$，但一般正交矩阵不一定对称。
步骤 8/8
目标：举例说明
例如，旋转矩阵$Q = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$是正交矩阵，其特征值为$e^{i\theta}$和$e^{-i\theta}$，当$\theta \neq 0, \pi$时，特征值不是$\pm 1$。
提示：旋转矩阵是正交矩阵但不是对称矩阵的例子。
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