湖南师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
5．若 $f^{\prime}(x)$ 有 2 重根 $a$ ，那么 $a$ 是多项式 $f(x)$ 的 3 重根吗？为什么？
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题意
题目说 $f'(x)$ 有 2 重根 $a$，即 $a$ 是 $f'(x)$ 的二重根，这意味着 $f'(a)=0$，$f''(a)=0$，但 $f'''(a)\neq 0$。问题问：$a$ 是否是 $f(x)$ 的三重根？
提示：注意区分“重根”的定义：若 $a$ 是 $f(x)$ 的 $k$ 重根，则 $f(a)=f'(a)=\cdots=f^{(k-1)}(a)=0$，$f^{(k)}(a)\neq 0$。
步骤 2/5
目标：建立重数关系
设 $a$ 是 $f(x)$ 的 $m$ 重根，则存在多项式 $g(x)$ 使得 $f(x)=(x-a)^m g(x)$，且 $g(a)\neq 0$。求导得 $f'(x)=m(x-a)^{m-1}g(x)+(x-a)^m g'(x)=(x-a)^{m-1}[m g(x)+(x-a)g'(x)]$。因此 $a$ 是 $f'(x)$ 的至少 $m-1$ 重根。
公式：$f(x)=(x-a)^m g(x)$，$g(a)\neq 0$
提示：注意 $f'(x)$ 中 $(x-a)^{m-1}$ 的系数 $m g(x)+(x-a)g'(x)$ 在 $x=a$ 处值为 $m g(a)\neq 0$，所以 $a$ 恰好是 $f'(x)$ 的 $m-1$ 重根。
步骤 3/5
目标：应用已知条件
已知 $f'(x)$ 有 2 重根 $a$，即 $a$ 是 $f'(x)$ 的二重根。根据上一步，$a$ 是 $f'(x)$ 的 $m-1$ 重根，因此 $m-1=2$，解得 $m=3$。
公式：$m-1=2$
提示：这里假设了 $f'(x)$ 的二重根恰好对应 $m-1=2$，但需注意 $f'(x)$ 可能还有更高重数？实际上题目说“有2重根”，意味着恰好是2重，即重数等于2。
步骤 4/5
目标：得出结论
由 $m=3$ 可知，$a$ 是 $f(x)$ 的三重根。因此，答案是肯定的：$a$ 是 $f(x)$ 的三重根。
提示：注意：如果 $f'(x)$ 有2重根 $a$，但 $f(x)$ 可能还有别的根，不影响 $a$ 的重数。
步骤 5/5
目标：验证反例（可选）
例如，取 $f(x)=(x-a)^3$，则 $f'(x)=3(x-a)^2$，确实有2重根 $a$，且 $f(x)$ 有3重根 $a$。再如 $f(x)=(x-a)^3 h(x)$ 且 $h(a)\neq 0$，则 $f'(x)$ 仍有2重根 $a$，且 $f(x)$ 有3重根 $a$。
提示：注意：若 $f(x)$ 有更高重数，比如 $m>3$，则 $f'(x)$ 会有 $m-1>2$ 重根，与条件矛盾。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。