湖南师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
10．证明：多项式 $x^{7}+7 x+1$ 在有理数域上不可约．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：引入艾森斯坦判别法
艾森斯坦判别法：设多项式 $f(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$ 是整系数多项式。如果存在素数 $p$ 使得 $p \nmid a_n$，$p \mid a_i$（$i=0,1,\ldots,n-1$），且 $p^2 \nmid a_0$，则 $f(x)$ 在有理数域上不可约。
提示：注意判别法要求首项系数不被 $p$ 整除，其余系数被 $p$ 整除，常数项不被 $p^2$ 整除。
步骤 2/7
目标：尝试直接应用艾森斯坦判别法
对于 $f(x)=x^7+7x+1$，首项系数为 $1$，常数项为 $1$。若取 $p=7$，则 $7 \mid 7$（$x$ 的系数），但常数项 $1$ 不被 $7$ 整除，不满足 $p \mid a_0$。若取 $p=1$ 无效。因此不能直接应用，需作变量替换。
提示：注意常数项必须被 $p$ 整除，否则判别法不适用。
步骤 3/7
目标：变量替换：令 $x = y - 1$
作线性变换 $x = y - 1$，则 $f(x)$ 变为 $g(y) = f(y-1) = (y-1)^7 + 7(y-1) + 1$。
公式：x = y - 1
提示：线性变换保持可约性，即 $f(x)$ 可约当且仅当 $g(y)$ 可约。
步骤 4/7
目标：展开 $(y-1)^7$
使用二项式定理：$(y-1)^7 = \sum_{k=0}^7 \binom{7}{k} y^k (-1)^{7-k} = y^7 - 7y^6 + 21y^5 - 35y^4 + 35y^3 - 21y^2 + 7y - 1$。
公式：(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
提示：注意符号：$(-1)^{7-k}$，当 $k=6$ 时 $(-1)^1=-1$，系数为 $\binom{7}{6}=7$，故项为 $-7y^6$。
步骤 5/7
目标：计算 $g(y)$ 的表达式
代入展开结果：$g(y) = (y^7 - 7y^6 + 21y^5 - 35y^4 + 35y^3 - 21y^2 + 7y - 1) + 7(y-1) + 1$。化简：$7(y-1)=7y-7$，再与 $-1$ 和 $+1$ 合并：$-1-7+1 = -7$。所以 $g(y) = y^7 - 7y^6 + 21y^5 - 35y^4 + 35y^3 - 21y^2 + 14y - 7$。
提示：合并同类项时注意 $7y$ 与 $7y$ 相加得 $14y$，常数项 $-1-7+1=-7$。
步骤 6/7
目标：对 $g(y)$ 应用艾森斯坦判别法
取素数 $p=7$。检查系数：首项系数 $1$ 不被 $7$ 整除；其他系数：$-7, 21, -35, 35, -21, 14, -7$ 均被 $7$ 整除；常数项 $-7$ 被 $7$ 整除，但 $7^2=49$ 不整除 $-7$。因此满足艾森斯坦判别法条件，$g(y)$ 在有理数域上不可约。
提示：注意常数项 $-7$ 被 $7$ 整除，且 $49 \nmid -7$，满足 $p^2 \nmid a_0$。
步骤 7/7
目标：由 $g(y)$ 不可约推出 $f(x)$ 不可约
由于 $f(x)$ 与 $g(y)$ 通过可逆线性变换 $x = y-1$ 相联系，若 $f(x)$ 可约，则 $g(y)=f(y-1)$ 也可约。反之，$g(y)$ 不可约，故 $f(x)$ 不可约。因此多项式 $x^7+7x+1$ 在有理数域上不可约。
提示：线性变换不改变多项式的可约性，但需注意变换是可逆的（$y=x+1$）。
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