湖南师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
11．设 $n \geq 2, \mathscr{T}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，且向量 $v$ 满足 $\mathscr{T}^{n-1} v \neq 0, \mathscr{T}^{n} v=0$ ．
（1）证明：向量组 $v, \mathscr{T} v, \cdots, \mathscr{T}^{n-1} v$ 线性无关．
（2）证明： $\mathscr{T}$ 不可以对角化．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设定线性组合并应用变换
设存在一组数 $k_0, k_1, \dots, k_{n-1}$ 使得 $k_0 v + k_1 \mathscr{T} v + \cdots + k_{n-1} \mathscr{T}^{n-1} v = 0$。两边同时作用 $\mathscr{T}^{n-1}$，得到 $k_0 \mathscr{T}^{n-1} v + k_1 \mathscr{T}^{n} v + \cdots + k_{n-1} \mathscr{T}^{2n-2} v = 0$。由于 $\mathscr{T}^{n} v = 0$，且对任意 $m \geq n$ 有 $\mathscr{T}^{m} v = 0$，因此上式化简为 $k_0 \mathscr{T}^{n-1} v = 0$。
公式：\mathscr{T}^{n} v = 0
提示：注意 $\mathscr{T}^{n} v = 0$ 意味着所有更高次幂也为零。
步骤 2/6
目标：推出第一个系数为零
由 $k_0 \mathscr{T}^{n-1} v = 0$ 且已知 $\mathscr{T}^{n-1} v \neq 0$，可得 $k_0 = 0$。
提示：非零向量与标量乘积为零，则标量必为零。
步骤 3/6
目标：递推证明所有系数为零
将 $k_0 = 0$ 代入原式，得 $k_1 \mathscr{T} v + \cdots + k_{n-1} \mathscr{T}^{n-1} v = 0$。两边作用 $\mathscr{T}^{n-2}$，得到 $k_1 \mathscr{T}^{n-1} v = 0$，从而 $k_1 = 0$。重复此过程，依次可得 $k_2 = 0, \dots, k_{n-1} = 0$。因此向量组线性无关。
提示：每次作用 $\mathscr{T}^{n-i-1}$ 时，注意只有第一项非零。
步骤 4/6
目标：构造基并写出变换矩阵
由（1）知 $v, \mathscr{T} v, \dots, \mathscr{T}^{n-1} v$ 是 $V$ 的一组基。在这组基下，$\mathscr{T}$ 的作用为：$\mathscr{T}(\mathscr{T}^{i} v) = \mathscr{T}^{i+1} v$（$i=0,\dots,n-2$），$\mathscr{T}(\mathscr{T}^{n-1} v) = 0$。因此 $\mathscr{T}$ 的矩阵为若尔当块 $J_n(0)$，即主对角线全为0，次对角线全为1的矩阵。
公式：J_n(0) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & & \\ & 0 & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & 0 \end{pmatrix}
提示：注意基的排列顺序：$v, \mathscr{T} v, \dots, \mathscr{T}^{n-1} v$。
步骤 5/6
目标：分析特征值
矩阵 $J_n(0)$ 的特征多项式为 $\lambda^n$，特征值全为0。若 $\mathscr{T}$ 可对角化，则 $\mathscr{T}$ 的矩阵应相似于对角矩阵，且特征值全为0，因此 $\mathscr{T}$ 必须是零变换。
公式：\det(J_n(0) - \lambda I) = (-\lambda)^n
提示：零变换意味着对所有向量作用结果为零。
步骤 6/6
目标：得出矛盾并证明不可对角化
但已知 $\mathscr{T}^{n-1} v \neq 0$，即 $\mathscr{T}$ 不是零变换，矛盾。因此 $\mathscr{T}$ 不可对角化。
提示：可对角化且特征值全为零的线性变换必为零变换。
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