湖南师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
12．设 $A$ 为 2026 阶非零实矩阵，且 $A$ 的伴随矩阵与其转置矩阵相等，证明：$A$ 是行列式为 1 的正交矩阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用伴随矩阵性质得到关系式
由伴随矩阵性质，$AA^* = A^*A = \det(A)I_n$。代入条件 $A^* = A^T$，得 $AA^T = A^TA = \det(A)I_n$。因此 $A$ 是正交矩阵的倍数，且 $\det(A) \neq 0$（否则 $AA^T=0$，与 $A$ 非零矛盾）。
公式：AA^* = A^*A = \det(A)I_n
提示：注意 $A^*$ 是伴随矩阵，不是共轭转置。
步骤 2/4
目标：对等式两边取行列式，得到行列式的关系
对 $AA^T = \det(A)I_n$ 两边取行列式：$\det(A)\det(A^T) = \det(\det(A)I_n) = (\det(A))^n$。由于 $\det(A^T) = \det(A)$，故 $\det(A)^2 = \det(A)^n$，即 $\det(A)^{n-2}=1$。因为 $n=2026$ 是偶数，$n-2=2024$ 是偶数，所以 $\det(A) = \pm 1$。
公式：\det(AA^T) = \det(A)\det(A^T) = \det(A)^2
提示：注意 $\det(kI_n) = k^n$，其中 $k$ 是常数。
步骤 3/4
目标：排除行列式为-1的情况（利用迹非负）
若 $\det(A) = -1$，则 $AA^T = -I_n$。取迹得 $\operatorname{tr}(AA^T) = \operatorname{tr}(-I_n) = -n$。但 $\operatorname{tr}(AA^T) = \sum_{i,j} a_{ij}^2 \geq 0$，矛盾。因此 $\det(A) = 1$。
公式：\operatorname{tr}(AA^T) = \sum_{i,j} a_{ij}^2 \geq 0
提示：迹运算满足线性性，且 $\operatorname{tr}(AA^T)$ 是矩阵所有元素平方和。
步骤 4/4
目标：得出正交矩阵结论
由 $\det(A)=1$ 及 $AA^T = \det(A)I_n = I_n$，得 $AA^T = I_n$，即 $A$ 是正交矩阵，且行列式为1。
公式：AA^T = I_n
提示：正交矩阵定义：$A^T = A^{-1}$，等价于 $AA^T = I_n$。
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