湖南师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
13．设实方阵 $A$ 满足 $A^{4}=-A^{2}$ ，证明：$A$ 的迹等于 0 ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析特征值满足的方程
设 $\lambda$ 是 $A$ 的任一特征值，对应的特征向量为 $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$，则 $A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$。由条件 $A^4 = -A^2$，两边作用于 $\mathbf{v}$ 得 $A^4\mathbf{v} = -A^2\mathbf{v}$，即 $\lambda^4 \mathbf{v} = -\lambda^2 \mathbf{v}$，整理得 $(\lambda^4 + \lambda^2)\mathbf{v} = \mathbf{0}$。由于 $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$，故 $\lambda^2(\lambda^2+1)=0$。
公式：A^4 = -A^2
提示：注意特征向量非零，才能推出特征多项式方程。
步骤 2/5
目标：求解特征值可能取值
由 $\lambda^2(\lambda^2+1)=0$ 得 $\lambda^2=0$ 或 $\lambda^2=-1$。因此 $\lambda=0$ 或 $\lambda = \pm i$，其中 $i$ 为虚数单位。
公式：\lambda^2(\lambda^2+1)=0
提示：不要遗漏 $\lambda=0$ 的情况，且注意 $\lambda$ 可以是复数。
步骤 3/5
目标：利用实矩阵特征值的共轭性质
由于 $A$ 是实矩阵，非实特征值必成对共轭出现。若 $i$ 是特征值，则 $-i$ 也是特征值，且代数重数相同。设 $0$ 的代数重数为 $m$，$i$ 的代数重数为 $k$，则 $-i$ 的代数重数也为 $k$。
提示：注意实矩阵的复特征值总是共轭成对出现，且重数相等。
步骤 4/5
目标：计算特征值之和
矩阵的迹等于所有特征值之和（计入代数重数）。特征值之和为 $0 \cdot m + i \cdot k + (-i) \cdot k = 0$。
公式：\operatorname{tr}(A) = \sum \lambda_i
提示：迹是特征值之和，包括复特征值，但虚部抵消。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此 $\operatorname{tr}(A)=0$，即 $A$ 的迹等于 $0$。
提示：结论成立，无需额外条件。
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