湖南师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
6．计算如下 $n$ 阶行列式的值
$$
D_{n}=\left|\left(\begin{array}{ccccccc}
3 & 2 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
1 & 3 & 2 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & 3 & 2 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 3 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 3
\end{array}\right)\right|
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别行列式类型并建立递推关系
观察行列式 $D_n$ 的结构，它是一个三对角行列式，主对角线元素为3，次对角线元素为2和1。按第一行展开，得到递推关系：
$$D_n = 3D_{n-1} - 2D_{n-2},$$ 其中 $D_1 = 3$, $D_2 = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 9 - 2 = 7$。
公式：D_n = 3D_{n-1} - 2D_{n-2}
提示：注意展开时符号：第一行第一列元素3乘以余子式，第一行第二列元素2乘以代数余子式，符号为负，但余子式是下三角行列式，值为1，所以得到 $3D_{n-1} - 2D_{n-2}$。
步骤 2/5
目标：求解递推关系的特征方程
递推关系 $D_n = 3D_{n-1} - 2D_{n-2}$ 对应的特征方程为 $r^2 - 3r + 2 = 0$。解得特征根 $r_1 = 1$, $r_2 = 2$。
公式：r^2 - 3r + 2 = 0
提示：特征方程由递推关系直接写出：将 $D_n$ 替换为 $r^n$，得到 $r^n = 3r^{n-1} - 2r^{n-2}$，两边除以 $r^{n-2}$ 即得。
步骤 3/5
目标：写出通解形式
由于特征根为两个不同的实根，通解形式为 $D_n = A \cdot 1^n + B \cdot 2^n = A + B \cdot 2^n$，其中 $A, B$ 为待定常数。
公式：D_n = A + B \cdot 2^n
提示：注意 $1^n = 1$，不要遗漏常数项。
步骤 4/5
目标：代入初始条件确定常数
利用 $D_1 = 3$ 和 $D_2 = 7$ 建立方程组：
$$\begin{cases} A + 2B = 3 \\ A + 4B = 7 \end{cases}$$ 解得 $B = 2$, $A = -1$。
提示：代入时注意 $n=1$ 时 $2^1=2$，$n=2$ 时 $2^2=4$，不要算错。
步骤 5/5
目标：得到最终表达式
将 $A = -1$, $B = 2$ 代入通解，得 $D_n = -1 + 2 \cdot 2^n = 2^{n+1} - 1$。
公式：D_n = 2^{n+1} - 1
提示：化简时注意 $2 \cdot 2^n = 2^{n+1}$。
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