湖南师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
7．记与矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1\end{array}\right)$ 乘法可交换的所有实矩阵构成的集合为 $C(A)$ ，证明：$C(A)$ 是矩阵空间 $\mathbb{R}^{3 \times 3}$ 的线性子空间，并计算出一个基底．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明C(A)是线性子空间
首先证明$C(A)$是$\mathbb{R}^{3\times3}$的线性子空间。需要验证三点：
1. **非空性**：零矩阵$O$满足$AO=O=OA$，故$O\in C(A)$。
2. **加法封闭性**：若$X,Y\in C(A)$，则$A(X+Y)=AX+AY=XA+YA=(X+Y)A$，故$X+Y\in C(A)$。
3. **数乘封闭性**：若$X\in C(A)$，$k\in\mathbb{R}$，则$A(kX)=k(AX)=k(XA)=(kX)A$，故$kX\in C(A)$。
因此$C(A)$是$\mathbb{R}^{3\times3}$的线性子空间。
提示：注意验证子空间的三条性质：非空、加法封闭、数乘封闭。
步骤 2/5
目标：设未知矩阵X并计算AX和XA
设$X=\begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ x_4 & x_5 & x_6 \\ x_7 & x_8 & x_9 \end{pmatrix}$，计算$AX$和$XA$：
$AX = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ x_4 & x_5 & x_6 \\ x_7 & x_8 & x_9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1+2x_4 & x_2+2x_5 & x_3+2x_6 \\ x_4+2x_7 & x_5+2x_8 & x_6+2x_9 \\ 2x_1+x_7 & 2x_2+x_8 & 2x_3+x_9 \end{pmatrix}$
$XA = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ x_4 & x_5 & x_6 \\ x_7 & x_8 & x_9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1+2x_3 & 2x_1+x_2 & 2x_2+x_3 \\ x_4+2x_6 & 2x_4+x_5 & 2x_5+x_6 \\ x_7+2x_9 & 2x_7+x_8 & 2x_8+x_9 \end{pmatrix}$
公式：矩阵乘法公式
提示：计算矩阵乘法时注意行乘列的顺序，避免混淆。
步骤 3/5
目标：由AX=XA得到方程组
令$AX$与$XA$对应元素相等，得到9个方程：
(1) $x_1+2x_4 = x_1+2x_3 \Rightarrow x_3=x_4$
(2) $x_2+2x_5 = 2x_1+x_2 \Rightarrow x_5=x_1$
(3) $x_3+2x_6 = 2x_2+x_3 \Rightarrow x_6=x_2$
(4) $x_4+2x_7 = x_4+2x_6 \Rightarrow x_7=x_6=x_2$
(5) $x_5+2x_8 = 2x_4+x_5 \Rightarrow x_8=x_4=x_3$
(6) $x_6+2x_9 = 2x_5+x_6 \Rightarrow x_9=x_5=x_1$
(7) $2x_1+x_7 = x_7+2x_9 \Rightarrow x_1=x_9$（已得）
(8) $2x_2+x_8 = 2x_7+x_8 \Rightarrow x_2=x_7$（已得）
(9) $2x_3+x_9 = 2x_8+x_9 \Rightarrow x_3=x_8$（已得）
提示：注意化简方程时不要遗漏，最后三个方程是冗余的，但有助于验证。
步骤 4/5
目标：解方程组得到X的形式
由方程组得自由变量为$x_1,x_2,x_3$，其余变量表示为：$x_4=x_3$, $x_5=x_1$, $x_6=x_2$, $x_7=x_2$, $x_8=x_3$, $x_9=x_1$。
因此$X = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ x_3 & x_1 & x_2 \\ x_2 & x_3 & x_1 \end{pmatrix}$。
提示：注意变量替换的正确性，确保每个元素对应正确。
步骤 5/5
目标：确定基底和维数
由$X$的形式可知，$C(A)$中任意矩阵由三个独立参数$x_1,x_2,x_3$决定，故维数为3。取一组基底：
$E_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$（对应$x_1=1,x_2=0,x_3=0$）
$E_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$（对应$x_1=0,x_2=1,x_3=0$）
$E_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$（对应$x_1=0,x_2=0,x_3=1$）
提示：基底的选择不唯一，但必须线性无关且能生成整个子空间。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。