湖南师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
8．设 $V$ 是实线性空间，$v_{1}, v_{2}$ 是 $V$ 的一组基，且 $V$ 上线性变换 $\mathscr{T}$ 满足
$$
\mathscr{T}\left(v_{1}\right)=v_{1}+v_{2}, \mathscr{T}\left(v_{2}\right)=-2 v_{1}+4 v_{2} .
$$
计算 $\mathscr{T}^{2026}\left(v_{1}\right)$ 在基 $v_{1}, v_{2}$ 下的坐标．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出线性变换在基下的矩阵
由 $\mathscr{T}(v_1)=v_1+v_2$，$\mathscr{T}(v_2)=-2v_1+4v_2$，得 $\mathscr{T}$ 在基 $v_1,v_2$ 下的矩阵为 $A=\begin{pmatrix}1 & -2\\1 & 4\end{pmatrix}$。
提示：注意矩阵的列对应基像的坐标，第一列是 $\mathscr{T}(v_1)$ 的坐标 $(1,1)^T$，第二列是 $\mathscr{T}(v_2)$ 的坐标 $(-2,4)^T$。
步骤 2/7
目标：将问题转化为矩阵幂运算
由于 $\mathscr{T}^{2026}(v_1)$ 在基下的坐标等于 $A^{2026}$ 乘以 $v_1$ 的坐标 $(1,0)^T$，即 $A^{2026}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$。
公式：$\mathscr{T}^k(v)$ 在基下的坐标 $= A^k \cdot [v]$，其中 $[v]$ 是 $v$ 的坐标。
提示：注意 $v_1$ 的坐标是 $(1,0)^T$，不是 $(0,1)^T$。
步骤 3/7
目标：求矩阵的特征值和特征向量
特征多项式 $\det(\lambda I-A)=\det\begin{pmatrix}\lambda-1 & 2\\-1 & \lambda-4\end{pmatrix}=(\lambda-1)(\lambda-4)+2=\lambda^2-5\lambda+6=(\lambda-2)(\lambda-3)$，特征值 $\lambda_1=2,\lambda_2=3$。
对于 $\lambda=2$，解 $(2I-A)x=0$：$\begin{pmatrix}1 & 2\\-1 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=0$，得 $x_1+2x_2=0$，取 $x_2=1$，则 $x_1=-2$，特征向量 $\xi_1=\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}$。
对于 $\lambda=3$，解 $(3I-A)x=0$：$\begin{pmatrix}2 & 2\\-1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=0$，得 $x_1+x_2=0$，取 $x_2=1$，则 $x_1=-1$，特征向量 $\xi_2=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}$。
公式：$\det(\lambda I-A)=0$ 求特征值，$(\lambda I-A)x=0$ 求特征向量。
提示：解齐次线性方程组时，注意自由变量的选取，通常取非零解。
步骤 4/7
目标：构造可逆矩阵并对角化
令 $P=(\xi_1,\xi_2)=\begin{pmatrix}-2 & -1\\1 & 1\end{pmatrix}$，则 $P^{-1}AP=\Lambda=\begin{pmatrix}2 & 0\\0 & 3\end{pmatrix}$。
计算 $P^{-1}$：$\det P=(-2)\cdot1-(-1)\cdot1=-2+1=-1$，$P^{-1}=\frac{1}{-1}\begin{pmatrix}1 & 1\\-1 & -2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & -1\\1 & 2\end{pmatrix}$。
公式：$P^{-1}AP=\Lambda$，$P$ 由特征向量组成。
提示：计算 $P^{-1}$ 时注意行列式符号，伴随矩阵的转置。
步骤 5/7
目标：计算矩阵的幂
由 $A=P\Lambda P^{-1}$，得 $A^{2026}=P\Lambda^{2026}P^{-1}=\begin{pmatrix}-2 & -1\\1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2^{2026} & 0\\0 & 3^{2026}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1 & -1\\1 & 2\end{pmatrix}$。
公式：$A^k = P\Lambda^k P^{-1}$。
提示：注意幂运算顺序：先乘 $P^{-1}$，再乘 $\Lambda^k$，最后乘 $P$。
步骤 6/7
目标：计算 $A^{2026}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$
先计算 $P^{-1}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & -1\\1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}$。
再计算 $\Lambda^{2026}\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2^{2026} & 0\\0 & 3^{2026}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2^{2026}\\3^{2026}\end{pmatrix}$。
最后计算 $P\begin{pmatrix}-2^{2026}\\3^{2026}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2 & -1\\1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2^{2026}\\3^{2026}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cdot2^{2026}-3^{2026}\\-2^{2026}+3^{2026}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2^{2027}-3^{2026}\\3^{2026}-2^{2026}\end{pmatrix}$。
提示：注意 $2\cdot2^{2026}=2^{2027}$，不要写成 $2^{2026+1}=2^{2027}$。
步骤 7/7
目标：得出最终坐标
因此，$\mathscr{T}^{2026}(v_1)$ 在基 $v_1,v_2$ 下的坐标为 $\begin{pmatrix}2^{2027}-3^{2026}\\3^{2026}-2^{2026}\end{pmatrix}$。
提示：答案写成列向量形式。
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