湖南师范大学 2026年高等代数第0题

二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+x_2^2+x_3^2+2n x_1x_2+4x_1x_3$ 对应的矩阵 $A$ 是对称矩阵，其中 $a_{ii}$ 为平方项系数，$a_{ij}=a_{ji}$ 为交叉项系数的一半。因此 $A=\begin{pmatrix} 2 & n & 2 \\ n & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。

特征多项式为 $\det(\lambda I - A) = \begin{vmatrix} \lambda-2 & -n & -2 \\ -n & \lambda-1 & 0 \\ -2 & 0 & \lambda-1 \end{vmatrix}$。按第三行展开： $$\begin{aligned} \det(\lambda I - A) &= (-2)\cdot(-1)^{3+1}\begin{vmatrix} -n & -2 \\ \lambda-1 & 0 \end{vmatrix} + (\lambda-1)\begin{vmatrix} \lambda-2 & -n \\ -n & \lambda-1 \end{vmatrix} \\ &= -2\cdot( n\cdot0 - (-2)(\lambda-1) ) + (\lambda-1)[(\lambda-2)(\lambda-1)-n^2] \\ &= -4(\lambda-1) + (\lambda-1)[(\lambda-2)(\lambda-1)-n^2] \\ &= (\lambda-1)[(\lambda-2)(\lambda-1)-n^2-4] \\ &= (\lambda-1)(\lambda^2-3\lambda - n^2 -2). \end{aligned}$$

由特征多项式 $\det(\lambda I - A) = (\lambda-1)(\lambda^2-3\lambda - n^2 -2)=0$，得 $\lambda_1=1$，另两个特征值为二次方程 $\lambda^2-3\lambda - (n^2+2)=0$ 的根：$\lambda_{2,3} = \frac{3 \pm \sqrt{9+4(n^2+2)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{4n^2+17}}{2}$。

三个特征值均为整数且不小于 $-4$。$\lambda_1=1$ 已满足。$\lambda_{2,3}$ 为整数要求 $\sqrt{4n^2+17}$ 为整数，设 $\sqrt{4n^2+17}=k$（$k$ 为正整数），则 $k^2-4n^2=17$，即 $(k-2n)(k+2n)=17$。由于 $17$ 是素数，正整数分解只有 $1\times 17$ 或 $17\times 1$。解得 $k=9$，$n=4$（$n$ 为正整数）。此时 $\lambda_{2,3}=\frac{3\pm9}{2}$，即 $6$ 和 $-3$，均不小于 $-4$。

二次型在有理数域上的标准形由特征值决定（因为矩阵可对角化，且特征值均为有理数）。特征值为 $1,6,-3$，因此标准形为 $y_1^2+6y_2^2-3y_3^2$（顺序可调）。