电子科技大学 2023年高等代数第1题
📝 题目
1．行列式 $\displaystyle D_{5}=\left|\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & 2 & 1 & 2 \\ 5 & 4 & 3 & 2 & 1\end{array}\right|$ 的值为
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：构造n阶行列式并做行变换
考虑一般n阶行列式 $D_n = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ 2 & 1 & 2 & \cdots & n-1 \\ 3 & 2 & 1 & \cdots & n-2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ n & n-1 & n-2 & \cdots & 1 \end{vmatrix}$。将第i行减去第i-1行（i=n,n-1,...,2），得到 $D_n = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ 1 & -1 & -1 & \cdots & -1 \\ 1 & 1 & -1 & \cdots & -1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & -1 \end{vmatrix}$。
提示：注意行变换的顺序：从最后一行开始向上减，避免破坏已变换的行。
步骤 2/4
目标：做列变换
将第j列减去第j-1列（j=n,n-1,...,2），得到 $D_n = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & -2 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 0 & -2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & -2 \end{vmatrix}$。
提示：列变换同样从最后一列开始，注意第一列元素变为1。
步骤 3/4
目标：化为箭形行列式并计算
将第2到n列乘以$\frac{1}{2}$加到第1列，得 $D_n = \begin{vmatrix} 1+\frac{n-1}{2} & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & -2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & -2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -2 \end{vmatrix} = \left(1+\frac{n-1}{2}\right)(-2)^{n-1} = \frac{n+1}{2}(-2)^{n-1}$。
公式：箭形行列式公式：$\begin{vmatrix} a_0 & b_1 & \cdots & b_n \\ c_1 & a_1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_n & 0 & \cdots & a_n \end{vmatrix} = \left(a_0 - \sum_{i=1}^n \frac{b_i c_i}{a_i}\right) \prod_{i=1}^n a_i$，但此处直接化为上三角。
提示：注意$(-2)^{n-1}$的符号，当n为奇数时为正。
步骤 4/4
目标：代入n=5得到结果
将n=5代入公式：$D_5 = \frac{5+1}{2} \cdot (-2)^{4} = 3 \cdot 16 = 48$。
提示：计算$(-2)^4=16$，不要漏掉负号。
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