电子科技大学 2023年高等代数第6题
📝 题目
6．设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ -3 & 5\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}4 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 4 & 0 & 4\end{array}\right), f(x)$ 是使得 $\displaystyle f(A)=O$ 且 $\displaystyle f(B)=O$ 的次数最小的首项系数为 1 的多项式，则 $\displaystyle f^{\prime}(0)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求矩阵A的最小多项式
计算矩阵$A=\begin{pmatrix}1&1\\-3&5\end{pmatrix}$的特征多项式：$\det(\lambda I-A)=\det\begin{pmatrix}\lambda-1&-1\\3&\lambda-5\end{pmatrix}=(\lambda-1)(\lambda-5)+3=\lambda^2-6\lambda+8=(\lambda-2)(\lambda-4)$。由于$A$是$2\times2$矩阵且特征值互异，最小多项式等于特征多项式，故$m_A(\lambda)=(\lambda-2)(\lambda-4)$。
公式：特征多项式：$\det(\lambda I-A)$
提示：注意特征多项式展开时不要漏项；对于互异特征值的矩阵，最小多项式就是特征多项式。
步骤 2/4
目标：求矩阵B的最小多项式
计算矩阵$B=\begin{pmatrix}4&0&1\\0&2&0\\4&0&4\end{pmatrix}$的特征多项式：$\det(\lambda I-B)=\det\begin{pmatrix}\lambda-4&0&-1\\0&\lambda-2&0\\-4&0&\lambda-4\end{pmatrix}=(\lambda-2)\det\begin{pmatrix}\lambda-4&-1\\-4&\lambda-4\end{pmatrix}=(\lambda-2)[(\lambda-4)^2-4]=(\lambda-2)(\lambda^2-8\lambda+12)=(\lambda-2)^2(\lambda-6)$。
验证最小多项式：计算$(B-2I)(B-6I)$。$B-2I=\begin{pmatrix}2&0&1\\0&0&0\\4&0&2\end{pmatrix}$，$B-6I=\begin{pmatrix}-2&0&1\\0&-4&0\\4&0&-2\end{pmatrix}$，乘积为$\begin{pmatrix}2&0&1\\0&0&0\\4&0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2&0&1\\0&-4&0\\4&0&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4+0+4&0+0+0&2+0-2\\0&0&0\\-8+0+8&0+0+0&4+0-4\end{pmatrix}=O$。因此最小多项式为$m_B(\lambda)=(\lambda-2)(\lambda-6)$。
公式：最小多项式：$m_B(\lambda)$是满足$m_B(B)=O$的次数最小的首一多项式
提示：计算特征多项式时注意行列式展开；验证最小多项式时需检查低次多项式是否为零矩阵。
步骤 3/4
目标：确定多项式f(x)
$f(x)$是使得$f(A)=O$且$f(B)=O$的次数最小的首一多项式，即$f(x)$是$m_A(x)$和$m_B(x)$的最小公倍式。$m_A(x)=(x-2)(x-4)$，$m_B(x)=(x-2)(x-6)$，最小公倍式为$(x-2)(x-4)(x-6)$。因此$f(x)=(x-2)(x-4)(x-6)$。
公式：最小公倍式：$\operatorname{lcm}(m_A(x), m_B(x))$
提示：注意最小公倍式要取各因式的最高幂次，这里因式$(x-2)$在两个多项式中都是一次，所以取一次。
步骤 4/4
目标：计算f(x)的导数在x=0处的值
对$f(x)=(x-2)(x-4)(x-6)$求导：$f'(x)=(x-4)(x-6)+(x-2)(x-6)+(x-2)(x-4)$。代入$x=0$：$f'(0)=(-4)(-6)+(-2)(-6)+(-2)(-4)=24+12+8=44$。
公式：乘积求导法则：$(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'$
提示：代入数值时注意符号，负负得正。
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