电子科技大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
1、矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & -1 \\ -3 & 6 & 1\end{array}\right), M_{i j}$ 表示矩阵 $A$ 中元素 $a_{i j}$ 的余子式，则 $\sum_{i, j=1}^{n} M_{i j}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解余子式的定义
余子式 $M_{ij}$ 是指从矩阵 $A$ 中删去第 $i$ 行和第 $j$ 列后得到的子矩阵的行列式。本题中 $A$ 是 $3\times 3$ 矩阵，因此需要计算所有 $9$ 个余子式。
公式：M_{ij} = \det(A_{ij})，其中 $A_{ij}$ 是删去第 $i$ 行第 $j$ 列后的子矩阵。
提示：注意余子式不带符号，与代数余子式不同。
步骤 2/6
目标：计算第一行余子式
计算 $M_{11}, M_{12}, M_{13}$：
$M_{11} = \det\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 6 & 1 \end{pmatrix} = 1\cdot1 - (-1)\cdot6 = 1+6 = 7$。
$M_{12} = \det\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = 1\cdot1 - (-1)\cdot(-3) = 1-3 = -2$。
$M_{13} = \det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -3 & 6 \end{pmatrix} = 1\cdot6 - 1\cdot(-3) = 6+3 = 9$。
公式：二阶行列式公式：$\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$。
提示：计算二阶行列式时注意符号，尤其是负号的处理。
步骤 3/6
目标：计算第二行余子式
计算 $M_{21}, M_{22}, M_{23}$：
$M_{21} = \det\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 1 \end{pmatrix} = 2\cdot1 - 4\cdot6 = 2-24 = -22$。
$M_{22} = \det\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = 3\cdot1 - 4\cdot(-3) = 3+12 = 15$。
$M_{23} = \det\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -3 & 6 \end{pmatrix} = 3\cdot6 - 2\cdot(-3) = 18+6 = 24$。
公式：同上。
提示：注意子矩阵的选取：$M_{21}$ 删去第2行第1列，剩余元素为原矩阵的 (1,2),(1,3),(3,2),(3,3) 位置。
步骤 4/6
目标：计算第三行余子式
计算 $M_{31}, M_{32}, M_{33}$：
$M_{31} = \det\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = 2\cdot(-1) - 4\cdot1 = -2-4 = -6$。
$M_{32} = \det\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = 3\cdot(-1) - 4\cdot1 = -3-4 = -7$。
$M_{33} = \det\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 3\cdot1 - 2\cdot1 = 3-2 = 1$。
公式：同上。
提示：注意 $M_{31}$ 的子矩阵由原矩阵第1、2行和第2、3列组成。
步骤 5/6
目标：求和所有余子式
将所有余子式相加：
$\sum_{i,j=1}^{3} M_{ij} = 7 + (-2) + 9 + (-22) + 15 + 24 + (-6) + (-7) + 1$。
分组计算：$(7-2+9) = 14$，$(-22+15+24) = 17$，$(-6-7+1) = -12$。
总和：$14 + 17 - 12 = 19$。
公式：无。
提示：求和时注意正负号，避免计算错误。
步骤 6/6
目标：得出最终答案
因此，$\sum_{i,j=1}^{n} M_{ij} = 19$。
公式：无。
提示：最终答案应填入空格。
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