电子科技大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
2、 $f(\lambda)$ 是首项系数为 1 的整系数多项式，若 $f(2+\sqrt{3})=0$ ，则 $f(5)=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别根及其共轭
由于 $f(\lambda)$ 是首项系数为1的整系数多项式，且 $f(2+\sqrt{3})=0$，根据整系数多项式有理根的性质，无理根成对出现，因此 $2-\sqrt{3}$ 也是 $f(\lambda)$ 的根。
提示：注意：整系数多项式的无理根必须成对共轭出现。
步骤 2/6
目标：构造最小多项式因子
由根 $2+\sqrt{3}$ 和 $2-\sqrt{3}$ 构造二次多项式：$(\lambda-(2+\sqrt{3}))(\lambda-(2-\sqrt{3})) = \lambda^2 - 4\lambda + 1$。该多项式是首一整系数多项式。
公式：$(\lambda-(2+\sqrt{3}))(\lambda-(2-\sqrt{3})) = \lambda^2-4\lambda+1$
提示：计算时注意符号：$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=4-3=1$。
步骤 3/6
目标：表示原多项式
由于 $f(\lambda)$ 是首一整系数多项式，且含有因式 $\lambda^2-4\lambda+1$，可设 $f(\lambda) = (\lambda^2-4\lambda+1) g(\lambda)$，其中 $g(\lambda)$ 也是首一整系数多项式。
公式：$f(\lambda) = (\lambda^2-4\lambda+1) g(\lambda)$
提示：注意：$g(\lambda)$ 的首项系数为1，因为 $f(\lambda)$ 和 $\lambda^2-4\lambda+1$ 的首项系数都是1。
步骤 4/6
目标：计算 f(5) 的表达式
将 $\lambda=5$ 代入表达式：$f(5) = (5^2-4\cdot5+1) g(5) = (25-20+1) g(5) = 6 g(5)$。
公式：$f(5) = 6 g(5)$
提示：计算 $5^2-4\cdot5+1$ 时注意顺序。
步骤 5/6
目标：分析 g(5) 的取值
由于 $g(\lambda)$ 是整系数多项式，$g(5)$ 是整数。因此 $f(5)$ 是6的倍数。但题目未给出 $g(\lambda)$ 的具体形式，故 $f(5)$ 的值不确定。然而，通常题目隐含 $f(\lambda)$ 是满足条件的最低次多项式，即 $g(\lambda)=1$，此时 $f(5)=6$。
提示：注意：若未说明最低次，答案应为6的倍数，但常见解法取最小多项式。
步骤 6/6
目标：得出最终答案
根据常见解法，取 $f(\lambda)=\lambda^2-4\lambda+1$，则 $f(5)=6$。因此答案为 $\boxed{6}$。
提示：最终答案应写在方框内。
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