电子科技大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
3、线性空间 $V$ 的维数为 30 ，线性空间 $\mathcal{A V}, \mathcal{B V}, \mathcal{C V}$ 的维数分别为 $24, \mathcal{A B C V}$ 的最小维数是 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解题意与已知条件
设 $V$ 是 $30$ 维线性空间，$\mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{C}$ 是 $V$ 上的线性变换。已知 $\dim(\mathcal{A}V)=24$，$\dim(\mathcal{B}V)=24$，$\dim(\mathcal{C}V)=24$。要求 $\dim(\mathcal{A}\mathcal{B}\mathcal{C}V)$ 的最小可能值。
提示：注意线性变换的像的维数等于原空间维数减去核的维数。
步骤 2/7
目标：计算各线性变换的核的维数
由维数公式 $\dim(\mathcal{T}V) = \dim V - \dim(\ker \mathcal{T})$，得 $\dim(\ker \mathcal{A}) = 30-24=6$，同理 $\dim(\ker \mathcal{B})=6$，$\dim(\ker \mathcal{C})=6$。
公式：$\dim(\mathcal{T}V) = \dim V - \dim(\ker \mathcal{T})$
提示：核的维数计算要准确，注意是原空间维数减去像的维数。
步骤 3/7
目标：分析 $\mathcal{B}\mathcal{C}V$ 的维数
考虑 $\mathcal{B}\mathcal{C}V = \mathcal{B}(\mathcal{C}V)$。$\mathcal{C}V$ 是 $24$ 维子空间。$\mathcal{B}$ 限制在 $\mathcal{C}V$ 上，其核为 $\ker \mathcal{B} \cap \mathcal{C}V$。由维数公式：$\dim(\mathcal{B}\mathcal{C}V) = \dim(\mathcal{C}V) - \dim(\ker \mathcal{B} \cap \mathcal{C}V) = 24 - \dim(\ker \mathcal{B} \cap \mathcal{C}V)$。
公式：$\dim(\mathcal{B}\mathcal{C}V) = \dim(\mathcal{C}V) - \dim(\ker \mathcal{B} \cap \mathcal{C}V)$
提示：注意 $\mathcal{B}$ 作用在子空间 $\mathcal{C}V$ 上，核是 $\ker \mathcal{B}$ 与 $\mathcal{C}V$ 的交。
步骤 4/7
目标：分析 $\mathcal{A}\mathcal{B}\mathcal{C}V$ 的维数
类似地，$\mathcal{A}\mathcal{B}\mathcal{C}V = \mathcal{A}(\mathcal{B}\mathcal{C}V)$，有 $\dim(\mathcal{A}\mathcal{B}\mathcal{C}V) = \dim(\mathcal{B}\mathcal{C}V) - \dim(\ker \mathcal{A} \cap \mathcal{B}\mathcal{C}V)$。
公式：$\dim(\mathcal{A}\mathcal{B}\mathcal{C}V) = \dim(\mathcal{B}\mathcal{C}V) - \dim(\ker \mathcal{A} \cap \mathcal{B}\mathcal{C}V)$
提示：注意每一步的像空间维数依赖于前一步的像空间与核的交。
步骤 5/7
目标：求最小维数条件
为了最小化 $\dim(\mathcal{A}\mathcal{B}\mathcal{C}V)$，我们希望 $\dim(\ker \mathcal{B} \cap \mathcal{C}V)$ 和 $\dim(\ker \mathcal{A} \cap \mathcal{B}\mathcal{C}V)$ 尽可能大。由于 $\ker \mathcal{B}$ 是 $6$ 维，$\mathcal{C}V$ 是 $24$ 维，它们的交最大为 $6$（当 $\ker \mathcal{B} \subseteq \mathcal{C}V$ 时）。类似地，$\ker \mathcal{A}$ 是 $6$ 维，$\mathcal{B}\mathcal{C}V$ 的维数至少为 $24-6=18$，所以 $\ker \mathcal{A} \cap \mathcal{B}\mathcal{C}V$ 最大为 $6$（当 $\ker \mathcal{A} \subseteq \mathcal{B}\mathcal{C}V$ 时）。因此 $\dim(\mathcal{B}\mathcal{C}V)_{\min} = 24 - 6 = 18$，$\dim(\mathcal{A}\mathcal{B}\mathcal{C}V)_{\min} = 18 - 6 = 12$。
提示：注意交的维数不能超过核的维数，且需要检查条件是否同时成立。
步骤 6/7
目标：构造例子验证可达性
取 $V$ 的一组基 $e_1,\dots,e_{30}$，定义线性变换：$\mathcal{C}$ 将 $e_1,\dots,e_6$ 映射到 $0$，其余映到自身；$\mathcal{B}$ 将 $e_7,\dots,e_{12}$ 映射到 $0$，其余映到自身；$\mathcal{A}$ 将 $e_{13},\dots,e_{18}$ 映射到 $0$，其余映到自身。则 $\mathcal{C}V = \mathrm{span}\{e_7,\dots,e_{30}\}$，$\dim=24$；$\ker \mathcal{B} = \mathrm{span}\{e_7,\dots,e_{12}\} \subseteq \mathcal{C}V$，故 $\mathcal{B}\mathcal{C}V = \mathrm{span}\{e_{13},\dots,e_{30}\}$，$\dim=18$；$\ker \mathcal{A} = \mathrm{span}\{e_{13},\dots,e_{18}\} \subseteq \mathcal{B}\mathcal{C}V$，故 $\mathcal{A}\mathcal{B}\mathcal{C}V = \mathrm{span}\{e_{19},\dots,e_{30}\}$，$\dim=12$。因此最小维数可达 $12$。
提示：构造例子时注意核的包含关系，确保每个核都包含在前一个像空间中。
步骤 7/7
目标：得出最终答案
因此，$\dim(\mathcal{A}\mathcal{B}\mathcal{C}V)$ 的最小可能值为 $12$。
提示：最终答案要明确，注意是数字。
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