电子科技大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
5、特征多项式 $\lambda^{3}(\lambda-1)^{4}$ 的复矩阵按相似分类，可分为 $\_\_\_\_$类．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：确定矩阵阶数
特征多项式为 $\lambda^{3}(\lambda-1)^{4}$，其最高次项次数为 $3+4=7$，因此矩阵的阶数为 $7$。
提示：特征多项式的次数等于矩阵的阶数。
步骤 2/7
目标：确定特征值及其代数重数
特征多项式 $\lambda^{3}(\lambda-1)^{4}$ 的根为 $\lambda=0$（代数重数 $3$）和 $\lambda=1$（代数重数 $4$）。
提示：注意特征值 $0$ 和 $1$ 的代数重数分别为 $3$ 和 $4$。
步骤 3/7
目标：理解相似分类与Jordan标准形的关系
复矩阵的相似分类等价于其Jordan标准形的分类。每个特征值对应的Jordan块大小之和等于该特征值的代数重数，且Jordan块的个数等于该特征值的几何重数（但此处几何重数未知，需考虑所有可能）。
提示：Jordan标准形由所有特征值的Jordan块组成，不同Jordan块划分对应不同相似类。
步骤 4/7
目标：枚举特征值0的Jordan块划分
特征值 $0$ 的代数重数为 $3$，可能的Jordan块大小划分（即整数分拆）有：
- $3$（一个3阶Jordan块）
- $2+1$（一个2阶块和一个1阶块）
- $1+1+1$（三个1阶块）
共 $3$ 种。
提示：注意分拆时顺序无关，只考虑非增序列。
步骤 5/7
目标：枚举特征值1的Jordan块划分
特征值 $1$ 的代数重数为 $4$，可能的Jordan块大小划分有：
- $4$（一个4阶块）
- $3+1$（一个3阶块和一个1阶块）
- $2+2$（两个2阶块）
- $2+1+1$（一个2阶块和两个1阶块）
- $1+1+1+1$（四个1阶块）
共 $5$ 种。
提示：整数分拆的个数可通过枚举得到，注意不要遗漏。
步骤 6/7
目标：计算总的相似类数
由于两个特征值的Jordan块划分相互独立，总的相似类数为特征值0的划分种数乘以特征值1的划分种数：$3 \times 5 = 15$。
提示：乘法原理：不同特征值的Jordan块选择是独立的。
步骤 7/7
目标：得出最终答案
因此，特征多项式为 $\lambda^{3}(\lambda-1)^{4}$ 的复矩阵按相似分类，可分为 $15$ 类。
提示：答案应填写数字15。
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