电子科技大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
12、若 $g(x)$ 的各次系数的最大公因数为 1 ，且 $g(x) \in \mathbb{Z}[x]$ ，则称 $g(x)$ 是本原多项式。
（1）$h(x) \in \mathbb{Z}[x], d(x) \in \mathbb{Q}[x], g(x)$ 是本原多项式，若 $h(x)=d(x) g(x)$ ，证明：
$$
d(x) \in \mathbb{Z}[x]
$$
（2）$f(x) \in \mathbb{Z}[x], f^{2}(x)=1$ 有三个不同的整数根 $a, b, c$ ，证明：$f(x)$ 无整数根．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解题意与已知条件
已知 $g(x)$ 是本原多项式，即 $g(x) \in \mathbb{Z}[x]$ 且系数的最大公因数为1。$h(x) \in \mathbb{Z}[x]$，$d(x) \in \mathbb{Q}[x]$，且 $h(x)=d(x)g(x)$。需要证明 $d(x) \in \mathbb{Z}[x]$。
提示：注意本原多项式的定义：整系数且系数互素。
步骤 2/7
目标：引入整数倍使系数整化
由于 $d(x) \in \mathbb{Q}[x]$，存在非零整数 $c$ 使得 $c d(x) \in \mathbb{Z}[x]$。进一步，可以选取 $c$ 使得 $c d(x)$ 的系数互素（即本原）。令 $d_1(x)=c d(x)$，则 $d_1(x)$ 是本原多项式。于是 $h(x)=\frac{1}{c} d_1(x) g(x)$，即 $c h(x)=d_1(x) g(x)$。
公式：$c h(x)=d_1(x) g(x)$
提示：存在性：取 $c$ 为 $d(x)$ 系数分母的最小公倍数，再除以系数的最大公因数即可得到本原多项式。
步骤 3/7
目标：应用高斯引理
因为 $d_1(x)$ 和 $g(x)$ 都是本原多项式，根据高斯引理，它们的乘积 $d_1(x) g(x)$ 也是本原多项式。而 $c h(x)$ 的系数都是整数，且 $c$ 是整数。由于 $d_1(x) g(x)$ 是本原的，其系数的最大公因数为1，因此 $c$ 必须整除 $d_1(x) g(x)$ 的所有系数，这迫使 $c = \pm 1$。
公式：高斯引理：两个本原多项式的乘积仍为本原多项式。
提示：注意：$c$ 整除本原多项式的所有系数意味着 $c$ 是这些系数的公因数，但最大公因数为1，所以 $c=\pm1$。
步骤 4/7
目标：得出结论
由 $c = \pm 1$ 得 $d(x) = \pm d_1(x)$，而 $d_1(x) \in \mathbb{Z}[x]$，故 $d(x) \in \mathbb{Z}[x]$。证毕。
提示：注意符号不影响整系数性质。
步骤 5/7
目标：理解第二问条件
已知 $f(x) \in \mathbb{Z}[x]$，且 $f^2(x)=1$ 有三个不同的整数根 $a,b,c$。这意味着 $f^2(a)=1$，$f^2(b)=1$，$f^2(c)=1$，且 $a,b,c$ 互不相同。注意 $f^2(x)=1$ 是多项式恒等式，即对任意 $x$ 成立。
公式：$f^2(x)=1$
提示：不要混淆 $f^2(x)$ 与 $(f(x))^2$，这里 $f^2(x)$ 表示复合函数 $f(f(x))$？实际上题目中 $f^2(x)=1$ 应理解为 $(f(x))^2=1$，因为通常 $f^2(x)$ 表示平方。但根据上下文，$f^2(x)=1$ 有三个整数根，意味着 $f(x)=\pm 1$ 有三个整数解。
步骤 6/7
目标：分析根的性质
由 $f^2(x)=1$ 得 $f(x)=\pm 1$。因此 $a,b,c$ 是方程 $f(x)=1$ 或 $f(x)=-1$ 的根。由于 $f(x)$ 是整系数多项式，若 $f(x)$ 有整数根 $r$，则 $f(r)=0$，代入 $f^2(x)=1$ 得 $0=1$，矛盾。因此 $f(x)$ 无整数根。
提示：注意：$f(x)$ 有整数根意味着存在整数 $r$ 使得 $f(r)=0$，但 $f^2(r)=0$ 与 $f^2(r)=1$ 矛盾。
步骤 7/7
目标：严谨论证无整数根
假设存在整数 $r$ 使得 $f(r)=0$，则 $f^2(r)=0$。但 $f^2(x)=1$ 是多项式恒等式，代入 $x=r$ 得 $f^2(r)=1$，矛盾。故假设不成立，$f(x)$ 无整数根。证毕。
提示：注意恒等式的含义：对任意 $x$ 成立，包括整数。
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