电子科技大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
13、令 $A, B$ 是 $n$ 阶矩阵，且 $A V, B V$ 线性无关对任意非零 $V \in \mathbb{R}^{n}$ ．证明：
（1）$A B$ 可逆．
（2）$n$ 是偶数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：假设AB不可逆，导出矛盾
假设 $AB$ 不可逆，则存在非零向量 $X \in \mathbb{R}^n$ 使得 $ABX = 0$。令 $V = BX$，则 $V$ 可能为零向量或非零向量。
提示：注意 $V$ 可能为零，需分情况讨论。
步骤 2/8
目标：情况1：V=0
若 $V = 0$，即 $BX = 0$，则 $X \neq 0$ 且 $BX = 0$。此时考虑 $V = X$，则 $AV$ 与 $BV$ 线性相关（因为 $BV = 0$），与条件矛盾。
提示：注意 $V$ 是任意非零向量，这里取 $V=X$ 是合法的。
步骤 3/8
目标：情况2：V≠0
若 $V \neq 0$，则 $ABX = 0$ 意味着 $AV = 0$。此时考虑 $V$ 本身，$AV = 0$ 而 $BV$ 非零（否则若 $BV=0$，则 $AV$ 与 $BV$ 线性相关），但 $AV=0$ 与 $BV$ 线性无关要求 $AV$ 非零，矛盾。
提示：注意 $AV=0$ 时，$AV$ 与 $BV$ 线性相关（因为零向量与任何向量相关），与条件矛盾。
步骤 4/8
目标：结论AB可逆
因此假设不成立，$AB$ 可逆。
步骤 5/8
目标：由AB可逆推出A和B可逆
由 $AB$ 可逆知 $\det(AB) = \det A \det B \neq 0$，故 $\det A \neq 0$ 且 $\det B \neq 0$，所以 $A, B$ 均可逆。
公式：$\det(AB) = \det A \det B$
提示：注意可逆矩阵的行列式非零。
步骤 6/8
目标：构造矩阵C并转化条件
定义 $C = A^{-1}B$，则 $C$ 可逆。条件：对任意非零 $V$，$AV$ 与 $BV$ 线性无关，即 $AV$ 与 $A(CV)$ 线性无关，等价于 $V$ 与 $CV$ 线性无关（因为 $A$ 可逆）。
提示：线性无关性在可逆线性变换下保持不变。
步骤 7/8
目标：证明C无实特征值
若 $C$ 有实特征值 $\lambda$ 和对应特征向量 $V \neq 0$，则 $CV = \lambda V$，那么 $V$ 与 $CV$ 线性相关，矛盾。因此 $C$ 没有实特征值。
提示：特征向量定义：$CV = \lambda V$。
步骤 8/8
目标：由特征多项式性质得n为偶数
$C$ 的特征多项式是实系数多项式，且无实根，故所有特征根均为非实复数，且共轭成对出现。所以特征多项式的次数 $n$ 必为偶数。
提示：实系数多项式的非实根成对出现，因此次数为偶数。
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