电子科技大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
7、在三维欧氏空间 $\mathbb{R}^{3}$ 中，定义内积 $(\alpha, \beta)=x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}+x_{3} y_{3}, \alpha=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ ． $u, v, w \in \mathbb{R}^{3}$ ，其长度分别为 $1,2,4$ ，它们两两之间夹角为 $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ ．
（1）直接写出 $u, v, w$ 的格拉姆矩阵 $G=\left(\begin{array}{lll}(u, u) & (u, v) & (u, w) \\ (v, u) & (v, v) & (v, w) \\ (w, u) & (w, v) & (w, w)\end{array}\right)$ ．
（2） $\operatorname{det}\left(I+u^{T} u+v^{T} v+w^{T} w\right)$ 的值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：计算内积和格拉姆矩阵
由内积定义，$(u,u)=|u|^2=1^2=1$，$(v,v)=|v|^2=2^2=4$，$(w,w)=|w|^2=4^2=16$。两两夹角为$\frac{\pi}{3}$，故$(u,v)=|u||v|\cos\frac{\pi}{3}=1\cdot2\cdot\frac12=1$，$(u,w)=1\cdot4\cdot\frac12=2$，$(v,w)=2\cdot4\cdot\frac12=4$。因此格拉姆矩阵为
$$G=\begin{pmatrix}1 & 1 & 2\\1 & 4 & 4\\2 & 4 & 16\end{pmatrix}.$$
公式：$(\alpha,\beta)=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3$，$(\alpha,\beta)=|\alpha||\beta|\cos\theta$
提示：注意向量长度平方与内积的关系，夹角余弦值计算正确。
步骤 2/3
目标：将行列式问题转化为格拉姆矩阵形式
令$A=I+u^Tu+v^Tv+w^Tw$，其中$u,v,w$视为行向量。构造矩阵$M=\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix}$（$3\times3$），则$MM^T=G$，且$M^TM=u^Tu+v^Tv+w^Tw$。于是$A=I+M^TM$。由矩阵恒等式$\det(I+M^TM)=\det(I+MM^T)$，得$\det(A)=\det(I+G)$。
公式：$\det(I+M^TM)=\det(I+MM^T)$
提示：注意$M$的行是向量，$MM^T$是格拉姆矩阵，$M^TM$是向量外积之和。恒等式成立需$I$阶数匹配。
步骤 3/3
目标：计算行列式
计算$\det(I+G)=\det\begin{pmatrix}2 & 1 & 2\\1 & 5 & 4\\2 & 4 & 17\end{pmatrix}$。按第一行展开：
$$\begin{vmatrix}2 & 1 & 2\\1 & 5 & 4\\2 & 4 & 17\end{vmatrix}=2\begin{vmatrix}5&4\\4&17\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}1&4\\2&17\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}1&5\\2&4\end{vmatrix}=2(85-16)-1(17-8)+2(4-10)=2\cdot69-9+2\cdot(-6)=138-9-12=117.$$
公式：行列式展开公式
提示：计算二阶行列式时注意符号，代数余子式符号为$(-1)^{i+j}$。
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