福州大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
1．设 $\alpha_{1}=(0,1,2)^{T}, \alpha_{2}=(-1,3,2)^{T}, \alpha_{3}=(1, \lambda, 3)^{T}$ ，当且仅当 $\lambda$ 满足 $\_\_\_\_$时，任意 3 维列向量都可由 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表出．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意，转化为线性无关条件
任意3维列向量都可由$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性表出，等价于$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$是$\mathbb{R}^3$的一组基，即它们线性无关。因此，矩阵$A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$的行列式不为零。
提示：注意：线性表出所有向量等价于向量组是基，即线性无关且个数等于维数。
步骤 2/6
目标：构造矩阵并计算行列式
构造矩阵$A=\begin{pmatrix}0 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & \lambda \\ 2 & 2 & 3\end{pmatrix}$，计算行列式$\det(A)$。按第一行展开：
$$\det(A)=0\cdot\begin{vmatrix}3 & \lambda \\ 2 & 3\end{vmatrix}-(-1)\cdot\begin{vmatrix}1 & \lambda \\ 2 & 3\end{vmatrix}+1\cdot\begin{vmatrix}1 & 3 \\ 2 & 2\end{vmatrix}$$
公式：行列式按行展开公式
提示：注意符号：展开时$(-1)^{1+2}$系数为负，但这里$(-1)$本身带负号，负负得正。
步骤 3/6
目标：计算各二阶行列式
计算各二阶行列式：
$$\begin{vmatrix}3 & \lambda \\ 2 & 3\end{vmatrix}=3\cdot3-\lambda\cdot2=9-2\lambda$$
$$\begin{vmatrix}1 & \lambda \\ 2 & 3\end{vmatrix}=1\cdot3-\lambda\cdot2=3-2\lambda$$
$$\begin{vmatrix}1 & 3 \\ 2 & 2\end{vmatrix}=1\cdot2-3\cdot2=2-6=-4$$
公式：二阶行列式公式：$\begin{vmatrix}a & b \\ c & d\end{vmatrix}=ad-bc$
提示：计算时注意顺序，避免符号错误。
步骤 4/6
目标：代入并化简行列式表达式
代入展开式：
$$\det(A)=0\cdot(9-2\lambda)+1\cdot(3-2\lambda)+1\cdot(-4)=3-2\lambda-4=-2\lambda-1$$
提示：注意第一项为0，第二项负负得正，第三项直接加。
步骤 5/6
目标：令行列式非零，解出λ的条件
线性无关要求$\det(A)\neq0$，即$-2\lambda-1\neq0$，解得$\lambda\neq-\frac{1}{2}$。
提示：注意不等式方向，不要写成等于。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，当且仅当$\lambda\neq-\frac{1}{2}$时，任意3维列向量都可由$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性表出。
提示：最终答案应明确写出$\lambda$的条件。
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