福州大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
2．设 $A$ 是秩为 $r$ 的 $n$ 阶方阵，且 $A^{2}=-A, E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，则 $|2 E+A|=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：由已知条件推导特征方程
已知 $A^2 = -A$，移项得 $A^2 + A = 0$，即 $A(A+E)=0$。设 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，对应的特征向量为 $\boldsymbol{x}$，则 $A\boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}$。代入 $A^2 = -A$ 得 $\lambda^2 \boldsymbol{x} = -\lambda \boldsymbol{x}$，即 $(\lambda^2 + \lambda)\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$。由于 $\boldsymbol{x} \neq \boldsymbol{0}$，故 $\lambda^2 + \lambda = 0$，即 $\lambda(\lambda+1)=0$。
公式：$\lambda^2 + \lambda = 0$
提示：注意特征向量非零，才能得到特征方程。
步骤 2/5
目标：确定特征值可能取值
由 $\lambda(\lambda+1)=0$ 解得 $\lambda = 0$ 或 $\lambda = -1$。因此 $A$ 的特征值只能是 $0$ 或 $-1$。
提示：不要遗漏 $\lambda = -1$ 的情况。
步骤 3/5
目标：利用秩确定特征值的代数重数
$A$ 是 $n$ 阶方阵，秩为 $r$。特征值 $0$ 的几何重数等于 $n - \text{rank}(A) = n - r$。由于 $A$ 满足 $A^2 = -A$，$A$ 可对角化（因为最小多项式无重根），故代数重数等于几何重数。因此特征值 $0$ 的代数重数为 $n-r$，特征值 $-1$ 的代数重数为 $r$。
公式：$\text{rank}(A) = r$，$0$ 的重数 $= n-r$
提示：需要说明 $A$ 可对角化，否则代数重数不一定等于几何重数。
步骤 4/5
目标：计算 $2E+A$ 的特征值
若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $2+\lambda$ 是 $2E+A$ 的特征值。因此 $2E+A$ 的特征值为：当 $\lambda=0$ 时，$2+0=2$，重数为 $n-r$；当 $\lambda=-1$ 时，$2+(-1)=1$，重数为 $r$。
公式：$2E+A$ 的特征值 $= 2+\lambda$
提示：注意特征值变换公式的正确应用。
步骤 5/5
目标：计算行列式
行列式等于所有特征值的乘积。因此 $|2E+A| = 2^{n-r} \cdot 1^{r} = 2^{n-r}$。
公式：$|B| = \prod \text{特征值}$
提示：特征值重数要乘到指数上。
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