福州大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
3．设 $A, B$ 分别为 $n \times m$ 和 $m \times n$ 矩阵，若 $r(A B)=n$ ，则 $r(B A)=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析已知条件
已知 $A$ 为 $n \times m$ 矩阵，$B$ 为 $m \times n$ 矩阵，且 $r(AB)=n$。由于 $AB$ 是 $n \times n$ 矩阵，秩为 $n$，故 $AB$ 可逆。
公式：r(AB)=n
提示：注意 $AB$ 是方阵，秩等于阶数时可逆。
步骤 2/6
目标：确定 $A$ 和 $B$ 的秩
由秩不等式 $r(AB) \leq \min\{r(A), r(B)\}$ 得 $n \leq \min\{r(A), r(B)\}$，即 $r(A) \geq n$ 且 $r(B) \geq n$。但 $A$ 是 $n \times m$ 矩阵，故 $r(A) \leq n$；$B$ 是 $m \times n$ 矩阵，故 $r(B) \leq n$。因此 $r(A)=r(B)=n$。
公式：r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}
提示：注意矩阵的秩不超过其行数和列数。
步骤 3/6
目标：利用可逆性构造左逆
由于 $AB$ 可逆，存在 $n \times n$ 矩阵 $C$ 使得 $C(AB)=I_n$，即 $(CA)B=I_n$。令 $D=CA$，则 $D$ 是 $n \times m$ 矩阵，且 $DB=I_n$。这说明 $B$ 有左逆，从而 $B$ 列满秩（即 $r(B)=n$）。
公式：C(AB)=I_n ⇒ (CA)B=I_n
提示：左逆存在等价于列满秩。
步骤 4/6
目标：利用可逆性构造右逆
类似地，由 $AB$ 可逆，存在 $n \times n$ 矩阵 $E$ 使得 $(AB)E=I_n$，即 $A(BE)=I_n$。令 $F=BE$，则 $F$ 是 $m \times n$ 矩阵，且 $AF=I_n$。这说明 $A$ 有右逆，从而 $A$ 行满秩（即 $r(A)=n$）。
公式：(AB)E=I_n ⇒ A(BE)=I_n
提示：右逆存在等价于行满秩。
步骤 5/6
目标：求 $BA$ 的秩
由于 $B$ 列满秩，$B$ 作为线性映射是单射，因此 $r(BA)=r(A)$（因为单射不改变像的维数）。又 $r(A)=n$，故 $r(BA)=n$。
公式：若 $B$ 列满秩，则 $r(BA)=r(A)$
提示：注意：列满秩矩阵左乘不改变秩，行满秩矩阵右乘不改变秩。
步骤 6/6
目标：得出最终答案
因此，$r(BA)=n$。
提示：检查 $BA$ 是 $m \times m$ 矩阵，秩为 $n$，$n \leq m$。
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