福州大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
4．设 $A=\alpha \beta^{T}$ ，其中 $\alpha=(1,3,4)^{T}, \beta=(2,2,1)^{T}$ ，则 $A$ 的 Jordan 标准形为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：计算矩阵A
由 $A = \alpha \beta^T$，其中 $\alpha = (1,3,4)^T$，$\beta = (2,2,1)^T$，计算得 $A = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 6 & 6 & 3 \\ 8 & 8 & 4 \end{pmatrix}$。
公式：$A = \alpha \beta^T$
提示：注意列向量乘以行向量得到矩阵，顺序不可颠倒。
步骤 2/5
目标：求非零特征值
由于 $A$ 是秩1矩阵，非零特征值等于 $\beta^T \alpha$。计算 $\beta^T \alpha = 2 \times 1 + 2 \times 3 + 1 \times 4 = 2 + 6 + 4 = 12$。因此特征值为 $\lambda_1 = 12$（单根）和 $\lambda_2 = 0$（代数重数2）。
公式：$\lambda = \beta^T \alpha$
提示：秩1矩阵的非零特征值等于迹，即 $\beta^T \alpha$。
步骤 3/5
目标：求零特征值的几何重数
零特征值的几何重数等于 $\dim \ker(A)$。由于 $A$ 的秩为1，所以 $\dim \ker(A) = 3 - \operatorname{rank}(A) = 3 - 1 = 2$。因此零特征值对应两个1阶Jordan块。
公式：$\dim \ker(A) = n - \operatorname{rank}(A)$
提示：几何重数等于零空间的维数，不要与代数重数混淆。
步骤 4/5
目标：确定Jordan块结构
特征值12是单根，对应一个1阶Jordan块。特征值0的代数重数为2，几何重数为2，因此对应两个1阶Jordan块。所以Jordan标准形是对角矩阵。
提示：当几何重数等于代数重数时，Jordan块均为1阶。
步骤 5/5
目标：写出Jordan标准形
将特征值按任意顺序排列，得到Jordan标准形为 $\begin{pmatrix} 12 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
提示：Jordan标准形中特征值的顺序可以任意，但通常非零特征值放在前面。
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