福州大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
5．设 $A$ 为 3 阶正交矩阵，且 $a_{22}=-1$ ，则 $A X=(0,1,0)^{T}$ 的解为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用正交矩阵性质推导第二列元素
设 $A = (a_{ij})_{3 \times 3}$ 为正交矩阵，则 $A^T A = I$，且列向量为单位向量且两两正交。考虑第二列 $\mathbf{v}_2 = (a_{12}, a_{22}, a_{32})^T = (a_{12}, -1, a_{32})^T$，其模长为1：$a_{12}^2 + (-1)^2 + a_{32}^2 = 1$，即 $a_{12}^2 + a_{32}^2 = 0$，故 $a_{12} = a_{32} = 0$。因此第二列为 $(0, -1, 0)^T$。
公式：$\|\mathbf{v}_2\|^2 = a_{12}^2 + a_{22}^2 + a_{32}^2 = 1$
提示：注意正交矩阵的列向量模长为1，且 $a_{22}=-1$ 已知。
步骤 2/6
目标：利用正交矩阵性质推导第二行元素
由于 $A$ 正交，行向量也为单位向量且两两正交。第二行 $\mathbf{r}_2 = (a_{21}, a_{22}, a_{23}) = (a_{21}, -1, a_{23})$ 模长为1：$a_{21}^2 + (-1)^2 + a_{23}^2 = 1$，即 $a_{21}^2 + a_{23}^2 = 0$，故 $a_{21} = a_{23} = 0$。因此第二行为 $(0, -1, 0)$。
公式：$\|\mathbf{r}_2\|^2 = a_{21}^2 + a_{22}^2 + a_{23}^2 = 1$
提示：正交矩阵的行向量也是单位向量。
步骤 3/6
目标：写出矩阵A的简化形式
由前两步，矩阵 $A$ 形如：
$$
A = \begin{pmatrix}
a_{11} & 0 & a_{13} \\
0 & -1 & 0 \\
a_{31} & 0 & a_{33}
\end{pmatrix}
$$
其中左上角和右下角的 $2 \times 2$ 子块为正交矩阵。
提示：注意矩阵结构，第二行第二列已确定。
步骤 4/6
目标：建立方程组求解X
解方程 $A X = (0,1,0)^T$，设 $X = (x_1, x_2, x_3)^T$，代入得：
$$
\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{13}x_3 = 0 \\
- x_2 = 1 \\
a_{31}x_1 + a_{33}x_3 = 0
\end{cases}
$$
由第二式得 $x_2 = -1$。
提示：注意矩阵乘法时第二行对应 $x_2$ 的系数为 $-1$。
步骤 5/6
目标：求解齐次方程组
第一和第三式构成齐次线性方程组：
$$
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{13} \\
a_{31} & a_{33}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\ x_3
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
0 \\ 0
\end{pmatrix}
$$
系数矩阵是 $2 \times 2$ 正交矩阵，因此可逆，只有零解：$x_1 = x_3 = 0$。
公式：正交矩阵的行列式为 $\pm 1$，故可逆。
提示：正交矩阵非奇异，齐次方程组只有零解。
步骤 6/6
目标：得出最终解
因此 $X = (0, -1, 0)^T$。
提示：注意解向量是列向量。
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