福州大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
12．设 3 阶实对称矩阵 $A$ 的各行元素之和均为 $4, r(A-E)=1$ ，其中 $E$ 为 3 阶单位矩阵．求矩阵 $A$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用各行元素之和为4求特征值
设向量 $\alpha_1=(1,1,1)^T$，由条件 $A$ 的各行元素之和均为4，得 $A\alpha_1=4\alpha_1$，故 $\lambda=4$ 是 $A$ 的一个特征值，$\alpha_1$ 是对应的特征向量。
公式：A\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=4\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}
提示：注意各行元素之和为4的含义是 $A$ 乘以全1向量等于4倍全1向量。
步骤 2/5
目标：利用秩条件求其他特征值
由 $r(A-E)=1$，知 $A-E$ 有2个零特征值，即 $A$ 有2个特征值为1。因为 $A$ 是3阶实对称矩阵，所以特征值全为实数，且可正交对角化。故 $A$ 的特征值为 $4,1,1$。
公式：r(A-E)=1 \Rightarrow \text{特征值1的重数为2}
提示：注意 $A-E$ 的秩为1意味着零特征值的代数重数为2，但需结合对称性确保可对角化。
步骤 3/5
目标：求与特征值1对应的正交特征向量
设特征值1的特征向量与 $\alpha_1$ 正交。取 $\alpha_2=(1,-1,0)^T$，$\alpha_3=(1,1,-2)^T$，它们与 $\alpha_1$ 正交且彼此正交。
公式：\alpha_1^T\alpha_2=0,\ \alpha_1^T\alpha_3=0,\ \alpha_2^T\alpha_3=0
提示：注意特征向量需正交，可通过解方程 $x_1+x_2+x_3=0$ 得到两个正交向量。
步骤 4/5
目标：单位化特征向量
将 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 单位化：$\beta_1=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)^T$，$\beta_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0)^T$，$\beta_3=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2)^T$。
公式：\beta_i=\frac{\alpha_i}{\|\alpha_i\|}
提示：单位化时注意模长计算正确。
步骤 5/5
目标：构造正交矩阵并计算A
令 $Q=(\beta_1,\beta_2,\beta_3)$，则 $Q$ 为正交矩阵，且 $Q^TAQ=\operatorname{diag}(4,1,1)$。于是 $A=Q\operatorname{diag}(4,1,1)Q^T$。计算得 $A=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}$。
公式：A=Q\Lambda Q^T
提示：计算矩阵乘法时注意顺序，先乘 $Q$ 与对角矩阵，再乘 $Q^T$。
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