福州大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
13．设 $n$ 阶方阵 $A, B$ 满足 $A B=B A$ ，证明：$\left|\begin{array}{ll}A & B \\ B & A\end{array}\right|=\left|A^{2}-B^{2}\right|$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造分块矩阵并应用初等变换
设 $M = \begin{pmatrix} A & B \\ B & A \end{pmatrix}$。对 $M$ 进行分块初等变换：将第一行左乘 $-1$ 加到第二行，得到 $\begin{pmatrix} A & B \\ B-A & A-B \end{pmatrix}$。再将第二列右乘 $1$ 加到第一列，得到 $\begin{pmatrix} A+B & B \\ 0 & A-B \end{pmatrix}$。这些变换不改变行列式的值。
提示：分块初等变换与普通初等变换类似，但需注意左乘行变换、右乘列变换，且变换不改变行列式值。
步骤 2/5
目标：计算变换后矩阵的行列式
变换后的矩阵为 $\begin{pmatrix} A+B & B \\ 0 & A-B \end{pmatrix}$，其行列式等于对角块行列式的乘积：$\det(M) = \det(A+B) \cdot \det(A-B)$。
公式：$\det\begin{pmatrix} X & Y \\ 0 & Z \end{pmatrix} = \det(X) \det(Z)$
提示：分块上三角矩阵的行列式等于对角块行列式的乘积，前提是 $X$ 和 $Z$ 为方阵。
步骤 3/5
目标：利用交换性化简乘积
由于 $AB=BA$，计算 $(A+B)(A-B) = A^2 - AB + BA - B^2 = A^2 - B^2$，且 $(A-B)(A+B) = A^2 + AB - BA - B^2 = A^2 - B^2$，因此 $A+B$ 与 $A-B$ 可交换。
公式：$(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$
提示：注意交换性条件 $AB=BA$ 是推导的关键，否则 $(A+B)(A-B) \neq A^2 - B^2$。
步骤 4/5
目标：应用行列式乘法公式
由于 $A+B$ 与 $A-B$ 可交换，有 $\det(A+B) \det(A-B) = \det((A+B)(A-B)) = \det(A^2 - B^2)$。
公式：$\det(XY) = \det(X) \det(Y)$ 当 $X,Y$ 为方阵时成立，且若 $X$ 与 $Y$ 可交换，则 $\det(X)\det(Y) = \det(XY)$ 仍成立。
提示：行列式乘法公式对任意方阵成立，无需交换性，但这里直接使用乘积的行列式。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，$\begin{vmatrix} A & B \\ B & A \end{vmatrix} = \det(A+B) \det(A-B) = \det(A^2 - B^2) = |A^2 - B^2|$。
提示：最终结果即为所需证明的等式。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。