福州大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
14．设 $A, B, A B-E$ 都是 $n$ 阶可逆阵，$E$ 为 $n$ 阶单位矩阵。
（1）证明：$A-B^{-1}$ 可逆，并求其逆．
（2）证明：$\left(A-B^{-1}\right)^{-1}-A^{-1}$ 可逆，并求其逆。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明 A-B^{-1} 可逆并求其逆
由已知条件，$A, B, AB-E$ 可逆。考虑 $(A-B^{-1})B = AB - E$，因此 $A-B^{-1} = (AB-E)B^{-1}$。由于 $AB-E$ 和 $B^{-1}$ 可逆，故 $A-B^{-1}$ 可逆，且 $(A-B^{-1})^{-1} = B(AB-E)^{-1}$。
公式：$(A-B^{-1})B = AB - E$
提示：注意矩阵乘法顺序，$(AB-E)B^{-1}$ 与 $B(AB-E)^{-1}$ 不同，逆矩阵需左乘或右乘适当因子。
步骤 2/5
目标：验证逆矩阵的正确性
验证 $(A-B^{-1}) \cdot B(AB-E)^{-1} = E$：$(A-B^{-1})B(AB-E)^{-1} = (AB-E)(AB-E)^{-1} = E$。同理，$B(AB-E)^{-1}(A-B^{-1}) = E$ 也成立。
公式：$(A-B^{-1})B(AB-E)^{-1} = E$
提示：验证逆矩阵时需同时检查左乘和右乘是否为单位阵。
步骤 3/5
目标：化简 $(A-B^{-1})^{-1} - A^{-1}$
由(1)知 $(A-B^{-1})^{-1} = B(AB-E)^{-1}$，则 $(A-B^{-1})^{-1} - A^{-1} = B(AB-E)^{-1} - A^{-1}$。为求其逆，考虑恒等式：$(A-B^{-1})^{-1} - A^{-1} = (A-B^{-1})^{-1}(E - (A-B^{-1})A^{-1})$。计算 $E - (A-B^{-1})A^{-1} = E - (AA^{-1} - B^{-1}A^{-1}) = E - (E - B^{-1}A^{-1}) = B^{-1}A^{-1}$。因此 $(A-B^{-1})^{-1} - A^{-1} = (A-B^{-1})^{-1}B^{-1}A^{-1}$。
公式：$(A-B^{-1})^{-1} - A^{-1} = (A-B^{-1})^{-1}B^{-1}A^{-1}$
提示：提取公因子时注意左乘还是右乘，此处左乘 $(A-B^{-1})^{-1}$。
步骤 4/5
目标：证明 $(A-B^{-1})^{-1} - A^{-1}$ 可逆并求其逆
由于 $A, B, A-B^{-1}$ 可逆，故 $(A-B^{-1})^{-1}B^{-1}A^{-1}$ 可逆，其逆为 $AB(A-B^{-1})$。因此 $\left((A-B^{-1})^{-1} - A^{-1}\right)^{-1} = AB(A-B^{-1})$。进一步化简：$AB(A-B^{-1}) = ABA - ABB^{-1} = ABA - A$。
公式：$\left((A-B^{-1})^{-1} - A^{-1}\right)^{-1} = AB(A-B^{-1}) = ABA - A$
提示：注意矩阵乘法不满足交换律，$AB(A-B^{-1})$ 不能写成 $A(B(A-B^{-1}))$ 以外的顺序。
步骤 5/5
目标：验证最终结果
验证 $\left((A-B^{-1})^{-1} - A^{-1}\right) \cdot (ABA - A) = E$：代入表达式并利用 $(A-B^{-1})^{-1} = B(AB-E)^{-1}$ 可验证。
提示：验证过程较繁琐，但可确保正确性。
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