福州大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
15．设 $A$ 为 $n$ 阶实反对称矩阵，$\lambda$ 是 $A$ 的特征值，证明：$\lambda$ 实部为 0 ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：设定特征值和特征向量
设 $\lambda$ 是 $A$ 的一个特征值，对应的特征向量为 $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$，则有 $A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$。
公式：A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}
提示：特征向量非零是基本条件。
步骤 2/8
目标：利用实反对称矩阵性质
由于 $A$ 是实反对称矩阵，即 $A^T = -A$，且 $A$ 为实矩阵，故 $\overline{A} = A$。
公式：A^T = -A, \quad \overline{A} = A
提示：注意实矩阵的共轭等于自身。
步骤 3/8
目标：对特征方程取共轭转置
对 $A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$ 两边取共轭转置，得 $\overline{\mathbf{x}}^T A^T = \overline{\lambda} \overline{\mathbf{x}}^T$。
公式：\overline{\mathbf{x}}^T A^T = \overline{\lambda} \overline{\mathbf{x}}^T
提示：共轭转置时注意顺序：$(AB)^T = B^T A^T$，$(AB)^* = B^* A^*$。
步骤 4/8
目标：代入反对称性
利用 $A^T = -A$ 代入上式，得 $-\overline{\mathbf{x}}^T A = \overline{\lambda} \overline{\mathbf{x}}^T$，即 $\overline{\mathbf{x}}^T A = -\overline{\lambda} \overline{\mathbf{x}}^T$。
公式：\overline{\mathbf{x}}^T A = -\overline{\lambda} \overline{\mathbf{x}}^T
提示：注意符号变化。
步骤 5/8
目标：两边右乘特征向量
将上式两边右乘 $\mathbf{x}$，得 $\overline{\mathbf{x}}^T A \mathbf{x} = -\overline{\lambda} \overline{\mathbf{x}}^T \mathbf{x}$。
公式：\overline{\mathbf{x}}^T A \mathbf{x} = -\overline{\lambda} \overline{\mathbf{x}}^T \mathbf{x}
提示：右乘时注意矩阵乘法顺序。
步骤 6/8
目标：利用原始特征方程化简左边
由 $A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$，左边 $\overline{\mathbf{x}}^T A \mathbf{x} = \overline{\mathbf{x}}^T (\lambda \mathbf{x}) = \lambda \overline{\mathbf{x}}^T \mathbf{x}$。
公式：\overline{\mathbf{x}}^T A \mathbf{x} = \lambda \overline{\mathbf{x}}^T \mathbf{x}
提示：注意 $\lambda$ 是标量，可提到前面。
步骤 7/8
目标：得到关于特征值的方程
因此 $\lambda \overline{\mathbf{x}}^T \mathbf{x} = -\overline{\lambda} \overline{\mathbf{x}}^T \mathbf{x}$。由于 $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$，$\overline{\mathbf{x}}^T \mathbf{x} = \|\mathbf{x}\|^2 > 0$，可约去，得 $\lambda = -\overline{\lambda}$，即 $\lambda + \overline{\lambda} = 0$。
公式：\lambda = -\overline{\lambda}
提示：注意 $\overline{\mathbf{x}}^T \mathbf{x}$ 是正实数，可以约去。
步骤 8/8
目标：推出实部为零
设 $\lambda = a + bi$，则 $\overline{\lambda} = a - bi$，代入 $\lambda + \overline{\lambda} = 0$ 得 $2a = 0$，所以 $a = 0$。因此 $\lambda$ 的实部为 0。
公式：a = 0
提示：实部为零说明特征值是纯虚数或零。
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