福州大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
16．设 $\varphi$ 为线性空间 $V$ 上的线性变换，若 $\varphi$ 的特征多项式为 $f(\lambda)=\lambda^{k}(\lambda-1)^{n-k}$ ，其中 $0<k<n$ ．证明：$V=V_{1} \oplus V_{2}$ ，其中 $V_{1}=\operatorname{Ker} \varphi^{k}, V_{2}=\operatorname{Ker}\left(\varphi-\operatorname{id}_{V}\right)^{n-k}$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：明确已知条件与目标
已知 $\varphi$ 的特征多项式为 $f(\lambda)=\lambda^{k}(\lambda-1)^{n-k}$，其中 $0
公式：$\varphi^{k}(\varphi-\mathrm{id}_V)^{n-k}=0$
提示：注意特征多项式与零化多项式的关系，Cayley-Hamilton 定理保证 $\varphi$ 满足其特征多项式。
步骤 2/4
目标：证明 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$
取 $\alpha \in V_1 \cap V_2$，则 $\varphi^{k}(\alpha)=0$ 且 $(\varphi-\mathrm{id}_V)^{n-k}(\alpha)=0$。由于 $\lambda^{k}$ 与 $(\lambda-1)^{n-k}$ 互素，存在多项式 $u(\lambda), v(\lambda)$ 使得 $u(\lambda)\lambda^{k}+v(\lambda)(\lambda-1)^{n-k}=1$。代入 $\varphi$ 得 $u(\varphi)\varphi^{k}+v(\varphi)(\varphi-\mathrm{id}_V)^{n-k}=\mathrm{id}_V$。作用在 $\alpha$ 上得 $\alpha = u(\varphi)\varphi^{k}(\alpha)+v(\varphi)(\varphi-\mathrm{id}_V)^{n-k}(\alpha)=0$，故 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$。
公式：$u(\lambda)\lambda^{k}+v(\lambda)(\lambda-1)^{n-k}=1$
提示：互素多项式的 Bezout 恒等式是关键，注意代入算子时保持恒等式成立。
步骤 3/4
目标：证明 $V = V_1 + V_2$
对任意 $\alpha \in V$，由上述多项式恒等式，有 $\alpha = u(\varphi)\varphi^{k}(\alpha) + v(\varphi)(\varphi-\mathrm{id}_V)^{n-k}(\alpha)$。令 $\beta = v(\varphi)(\varphi-\mathrm{id}_V)^{n-k}(\alpha)$，则 $\varphi^{k}(\beta) = v(\varphi)(\varphi-\mathrm{id}_V)^{n-k}\varphi^{k}(\alpha)=0$，故 $\beta \in V_1$。令 $\gamma = u(\varphi)\varphi^{k}(\alpha)$，则 $(\varphi-\mathrm{id}_V)^{n-k}(\gamma) = u(\varphi)\varphi^{k}(\varphi-\mathrm{id}_V)^{n-k}(\alpha)=0$，故 $\gamma \in V_2$。于是 $\alpha = \beta + \gamma \in V_1 + V_2$。
公式：$\alpha = u(\varphi)\varphi^{k}(\alpha) + v(\varphi)(\varphi-\mathrm{id}_V)^{n-k}(\alpha)$
提示：注意 $\varphi^{k}$ 与 $(\varphi-\mathrm{id}_V)^{n-k}$ 可交换，因此 $v(\varphi)(\varphi-\mathrm{id}_V)^{n-k}\varphi^{k} = v(\varphi)\varphi^{k}(\varphi-\mathrm{id}_V)^{n-k}$。
步骤 4/4
目标：得出直和结论
由 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$ 和 $V = V_1 + V_2$，根据直和的定义，$V = V_1 \oplus V_2$。
提示：直和需要同时满足和与交的条件，缺一不可。
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