福州大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
17．设 $\varphi, \psi$ 为线性空间 $V$ 上的线性变换，且 $\varphi^{2}=\varphi$ ．证明：
（1） $\operatorname{Ker} \varphi=\{\alpha-\varphi(\alpha) \mid \alpha \in V\}$ ．
（2） $\operatorname{Ker} \varphi, \operatorname{Im} \varphi$ 均是 $\psi$－不变子空间的充分必要条件是 $\psi \varphi=\varphi \psi$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明Kerφ ⊆ {α-φ(α)}
任取 $\beta \in \operatorname{Ker}\varphi$，则 $\varphi(\beta)=0$。令 $\alpha = \beta$，则 $\alpha - \varphi(\alpha) = \beta - \varphi(\beta) = \beta - 0 = \beta$，所以 $\beta \in \{\alpha - \varphi(\alpha) \mid \alpha \in V\}$。
公式：$\varphi(\beta)=0$
提示：注意取α=β即可，不要混淆变量。
步骤 2/6
目标：证明{α-φ(α)} ⊆ Kerφ
任取 $\alpha - \varphi(\alpha) \in \{\alpha - \varphi(\alpha) \mid \alpha \in V\}$，则 $\varphi(\alpha - \varphi(\alpha)) = \varphi(\alpha) - \varphi^2(\alpha) = \varphi(\alpha) - \varphi(\alpha) = 0$，所以 $\alpha - \varphi(\alpha) \in \operatorname{Ker}\varphi$。因此 $\operatorname{Ker}\varphi = \{\alpha - \varphi(\alpha) \mid \alpha \in V\}$。
公式：$\varphi^2 = \varphi$
提示：利用φ^2=φ消去项。
步骤 3/6
目标：必要性：假设不变性，推导ψφ=φψ
假设 $\operatorname{Ker}\varphi$ 和 $\operatorname{Im}\varphi$ 都是 $\psi$-不变子空间。任取 $\alpha \in V$，则 $\varphi(\alpha) \in \operatorname{Im}\varphi$，由不变性知 $\psi(\varphi(\alpha)) \in \operatorname{Im}\varphi$，即存在 $\beta \in V$ 使得 $\psi\varphi(\alpha) = \varphi(\beta)$。同时，$\alpha - \varphi(\alpha) \in \operatorname{Ker}\varphi$，由不变性知 $\psi(\alpha - \varphi(\alpha)) \in \operatorname{Ker}\varphi$，即 $\varphi(\psi(\alpha - \varphi(\alpha))) = 0$。于是 $\varphi\psi(\alpha) - \varphi\psi\varphi(\alpha) = 0$，即 $\varphi\psi(\alpha) = \varphi\psi\varphi(\alpha)$。由于 $\psi\varphi(\alpha) \in \operatorname{Im}\varphi$，且 $\varphi$ 在 $\operatorname{Im}\varphi$ 上是恒等变换（因为 $\varphi^2=\varphi$），所以 $\varphi(\psi\varphi(\alpha)) = \psi\varphi(\alpha)$。因此 $\varphi\psi(\alpha) = \psi\varphi(\alpha)$，由 $\alpha$ 的任意性得 $\varphi\psi = \psi\varphi$。
公式：$\varphi^2=\varphi$ 在Imφ上为恒等
提示：注意利用φ在像空间上是恒等变换这一性质。
步骤 4/6
目标：充分性：假设ψφ=φψ，证明Kerφ不变
假设 $\varphi\psi = \psi\varphi$。对于 $\operatorname{Ker}\varphi$：任取 $\alpha \in \operatorname{Ker}\varphi$，则 $\varphi(\alpha)=0$。于是 $\varphi(\psi(\alpha)) = \psi(\varphi(\alpha)) = \psi(0)=0$，所以 $\psi(\alpha) \in \operatorname{Ker}\varphi$，即 $\operatorname{Ker}\varphi$ 是 $\psi$-不变子空间。
公式：$\varphi\psi = \psi\varphi$
提示：直接代入定义即可。
步骤 5/6
目标：充分性：假设ψφ=φψ，证明Imφ不变
对于 $\operatorname{Im}\varphi$：任取 $\beta \in \operatorname{Im}\varphi$，存在 $\alpha \in V$ 使得 $\beta = \varphi(\alpha)$。于是 $\psi(\beta) = \psi(\varphi(\alpha)) = \varphi(\psi(\alpha)) \in \operatorname{Im}\varphi$，所以 $\operatorname{Im}\varphi$ 是 $\psi$-不变子空间。
公式：$\psi\varphi = \varphi\psi$
提示：注意像空间元素可表示为φ(α)。
步骤 6/6
目标：总结充要条件
综上，$\operatorname{Ker}\varphi$ 和 $\operatorname{Im}\varphi$ 是 $\psi$-不变子空间的充要条件是 $\psi\varphi = \varphi\psi$。
提示：必要性和充分性都已证明。
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