福州大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
18．设 $A$ 为 $m \times n$ 实矩阵．证明：
（1）对任意 $m$ 维实向量 $\beta$ ，线性方程组 $A^{T} A X=A^{T} \beta$ 必有解．
（2）若 $X_{0}$ 是线性方程组 $A^{T} A X=A^{T} \beta$ 的解，则在欧氏空间 $\mathbb{R}^{n}$ 中，对任意 $\alpha \in \mathbb{R}^{n}$ ，均有 $d\left(\beta, A X_{0}\right) \leq d(\beta, A \alpha)$ ，其中 $d(X, Y)$ 表示向量 $X, Y$ 的距离．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明方程组有解：利用值域相等
考虑线性方程组 $A^T A X = A^T \beta$。由于 $A^T A$ 是 $n \times n$ 实对称半正定矩阵，其值域 $\mathcal{R}(A^T A)$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的子空间。我们证明 $\mathcal{R}(A^T A) = \mathcal{R}(A^T)$。一方面，对任意 $x \in \mathbb{R}^n$，$A^T A x \in \mathcal{R}(A^T)$，故 $\mathcal{R}(A^T A) \subseteq \mathcal{R}(A^T)$。另一方面，对任意 $y \in \mathcal{R}(A^T)$，存在 $z \in \mathbb{R}^m$ 使得 $y = A^T z$。利用 Moore-Penrose 伪逆 $A^+$，有 $A^T z = A^T A (A^+ z)$，因此 $y \in \mathcal{R}(A^T A)$，故 $\mathcal{R}(A^T) \subseteq \mathcal{R}(A^T A)$。所以 $\mathcal{R}(A^T A) = \mathcal{R}(A^T)$。
公式：$\mathcal{R}(A^T A) = \mathcal{R}(A^T)$
提示：注意伪逆的存在性：对任意实矩阵 $A$，Moore-Penrose 伪逆 $A^+$ 存在且满足 $A A^+ A = A$，$A^+ A A^+ = A^+$ 等性质。
步骤 2/4
目标：证明方程组有解：右端项在值域中
由于 $A^T \beta \in \mathcal{R}(A^T)$，而 $\mathcal{R}(A^T) = \mathcal{R}(A^T A)$，因此 $A^T \beta \in \mathcal{R}(A^T A)$。根据线性方程组有解的充要条件（右端项属于系数矩阵的值域），方程组 $A^T A X = A^T \beta$ 必有解。
提示：线性方程组 $Ax=b$ 有解当且仅当 $b \in \mathcal{R}(A)$。
步骤 3/4
目标：证明距离不等式：正交性条件
设 $X_0$ 是 $A^T A X = A^T \beta$ 的解，则 $A^T (\beta - A X_0) = 0$。这意味着 $\beta - A X_0$ 与 $A$ 的每一列正交，即 $\beta - A X_0$ 正交于 $A$ 的列空间 $\mathcal{R}(A)$。
公式：$A^T (\beta - A X_0) = 0$
提示：注意 $A^T (\beta - A X_0)=0$ 是向量方程，表示 $\beta - A X_0$ 与 $A$ 的所有列向量内积为零。
步骤 4/4
目标：证明距离不等式：正交投影性质
对任意 $\alpha \in \mathbb{R}^n$，有 $A \alpha \in \mathcal{R}(A)$。由于 $\beta - A X_0$ 正交于 $\mathcal{R}(A)$，根据正交投影的性质，$A X_0$ 是 $\beta$ 在 $\mathcal{R}(A)$ 上的正交投影。因此，对于 $\mathcal{R}(A)$ 中的任意向量 $A \alpha$，有 $\|\beta - A X_0\| \leq \|\beta - A \alpha\|$，即 $d(\beta, A X_0) \leq d(\beta, A \alpha)$。
公式：$\|\beta - A X_0\| \leq \|\beta - A \alpha\|$
提示：正交投影是最佳逼近：在子空间 $S$ 中，向量 $b$ 的正交投影 $p$ 满足 $\|b-p\| \leq \|b-s\|$ 对所有 $s \in S$ 成立。
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