福州大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
6．$A$ 是 $m \times n$ 矩阵，证明：存在 $n \times m$ 矩阵 $B$ ，使得 $A B A=A$ 且 $B A B=B$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：引入矩阵的等价标准形
设矩阵 $A$ 的秩为 $r$，则存在可逆矩阵 $P_{m \times m}$ 和 $Q_{n \times n}$，使得 $A = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q$，其中 $I_r$ 是 $r$ 阶单位矩阵。
公式：A = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q
提示：注意 $P$ 和 $Q$ 是可逆矩阵，且 $A$ 的秩 $r$ 决定了标准形中单位矩阵的阶数。
步骤 2/5
目标：构造矩阵 B
令 $B = Q^{-1} \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} P^{-1}$，则 $B$ 是 $n \times m$ 矩阵。
公式：B = Q^{-1} \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} P^{-1}
提示：注意 $B$ 的维度：$Q^{-1}$ 是 $n \times n$，中间矩阵是 $n \times m$，$P^{-1}$ 是 $m \times m$，乘积为 $n \times m$。
步骤 3/5
目标：验证 ABA = A
计算 $ABA$：
\[
ABA = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q \cdot Q^{-1} \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} P^{-1} \cdot P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q.
\]
由于 $Q Q^{-1} = I$ 和 $P^{-1} P = I$，中间三项化简为 $\begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，因此 $ABA = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q = A$。
公式：ABA = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q = A
提示：注意矩阵乘法顺序，确保可逆矩阵与其逆矩阵相乘消去。
步骤 4/5
目标：验证 BAB = B
计算 $BAB$：
\[
BAB = Q^{-1} \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} P^{-1} \cdot P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q \cdot Q^{-1} \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} P^{-1}.
\]
类似地，中间三项化简为 $\begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，因此 $BAB = Q^{-1} \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} P^{-1} = B$。
公式：BAB = Q^{-1} \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} P^{-1} = B
提示：与上一步类似，注意矩阵乘法的结合性。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，存在 $n \times m$ 矩阵 $B$ 使得 $ABA = A$ 且 $BAB = B$。例如，取 $B = Q^{-1} \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} P^{-1}$ 即满足条件。
提示：注意 $B$ 的构造依赖于 $A$ 的等价标准形分解，但 $B$ 不唯一。
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