福州大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
8．设
$$
F[x]_{n}=\left\{a_{n} x^{n}+\cdots+a_{1} x+a_{0} \mid a_{n}, \cdots, a_{1}, a_{0} \in F\right\}
$$
求线性变换 $\mathscr{D}: F[x]_{n} \rightarrow F[x]_{n}, \mathscr{D}(f(x))=f^{\prime}(x)$ 的特征多项式和所有特征值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定空间维数和基
空间 $F[x]_n$ 由次数不超过 $n$ 的多项式组成，其维数为 $n+1$。选取基 $\mathcal{B} = \{1, x, x^2, \dots, x^n\}$。
提示：注意基的个数是 $n+1$，不是 $n$。
步骤 2/5
目标：计算基向量的像
对每个基向量求导：
$\mathscr{D}(1) = 0$，
$\mathscr{D}(x) = 1$，
$\mathscr{D}(x^2) = 2x$，
$\dots$，
$\mathscr{D}(x^n) = n x^{n-1}$。
公式：$\frac{d}{dx} x^k = k x^{k-1}$
提示：注意常数项导数为0，$x$ 的导数为1。
步骤 3/5
目标：写出线性变换在基下的矩阵
将每个像用基表示：
$\mathscr{D}(1) = 0 \cdot 1 + 0 \cdot x + \dots + 0 \cdot x^n$，
$\mathscr{D}(x) = 1 \cdot 1 + 0 \cdot x + \dots + 0 \cdot x^n$，
$\mathscr{D}(x^2) = 0 \cdot 1 + 2 \cdot x + \dots + 0 \cdot x^n$，
$\dots$，
$\mathscr{D}(x^n) = 0 \cdot 1 + 0 \cdot x + \dots + n \cdot x^{n-1} + 0 \cdot x^n$。
因此矩阵 $A$ 为 $(n+1) \times (n+1)$ 阶，第 $i$ 列（$i$ 从1开始）对应 $x^{i-1}$ 的像，矩阵元素 $a_{ij}$ 表示第 $j$ 个基向量像的第 $i$ 个坐标。具体地：
$$A = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 2 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & n \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0
\end{pmatrix}.$$
提示：注意矩阵是上三角矩阵，且对角线全为0，次对角线为 $1,2,\dots,n$。
步骤 4/5
目标：计算特征多项式
特征多项式为 $\det(\lambda I - A)$。由于 $A$ 是上三角矩阵，$\lambda I - A$ 也是上三角矩阵，其对角线元素为：第一行第一列 $\lambda$，第二行第二列 $\lambda$，...，第 $n+1$ 行第 $n+1$ 列 $\lambda$。因此行列式为对角线元素乘积：$\lambda^{n+1}$。
公式：$\det(\lambda I - A) = \lambda^{n+1}$
提示：上三角矩阵的行列式等于对角线元素乘积，注意 $\lambda I - A$ 的次对角线元素不影响行列式。
步骤 5/5
目标：确定特征值
特征多项式 $\lambda^{n+1}=0$ 的根为 $\lambda=0$（$n+1$ 重根）。因此所有特征值都是0，代数重数为 $n+1$。
提示：特征值全为0，但线性变换不是零变换，因为矩阵不是零矩阵。
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