福州大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
9．设 $\alpha$ 为 $n$ 维实单位列向量，$E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，求 $E-\alpha \alpha^{T}$ 的秩并说明理由．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确已知条件
已知 $\alpha$ 是 $n$ 维实单位列向量，即 $\alpha^T \alpha = 1$。$E$ 是 $n$ 阶单位矩阵。需要求矩阵 $A = E - \alpha \alpha^T$ 的秩。
公式：\alpha^T \alpha = 1
提示：注意 $\alpha$ 是列向量，$\alpha^T$ 是行向量，$\alpha \alpha^T$ 是 $n \times n$ 矩阵。
步骤 2/7
目标：分析矩阵 $\alpha \alpha^T$ 的性质
$\alpha \alpha^T$ 是秩为1的对称矩阵。它的特征值为：一个特征值 $\lambda_1 = \alpha^T \alpha = 1$，对应的特征向量是 $\alpha$；其余 $n-1$ 个特征值为0，对应的特征向量是与 $\alpha$ 正交的向量。
公式：\alpha \alpha^T \alpha = \alpha (\alpha^T \alpha) = \alpha
提示：秩1矩阵的非零特征值等于其迹，即 $\operatorname{tr}(\alpha \alpha^T) = \alpha^T \alpha = 1$。
步骤 3/7
目标：推导 $A$ 的特征值
由于 $A = E - \alpha \alpha^T$，对于 $\alpha \alpha^T$ 的特征向量 $v$，有 $A v = (E - \alpha \alpha^T) v = v - (\alpha \alpha^T) v$。当 $v = \alpha$ 时，$A \alpha = \alpha - \alpha = 0$，对应特征值0；当 $v$ 与 $\alpha$ 正交时，$\alpha \alpha^T v = 0$，所以 $A v = v$，对应特征值1（重数 $n-1$）。
公式：A v = (1 - \lambda) v, 其中 $\lambda$ 是 $\alpha \alpha^T$ 的特征值
提示：注意特征向量需线性无关，此处 $\alpha$ 和与 $\alpha$ 正交的向量构成一组基。
步骤 4/7
目标：根据特征值判断秩
矩阵 $A$ 有 $n-1$ 个非零特征值（均为1），一个零特征值。非零特征值的个数等于矩阵的秩，因此 $\operatorname{rank}(A) = n-1$。
公式：\operatorname{rank}(A) = \text{非零特征值的个数}
提示：特征值0对应的特征向量 $\alpha$ 属于零空间，零空间维数为1，故秩为 $n-1$。
步骤 5/7
目标：验证幂等性（另一种方法）
计算 $A^2 = (E - \alpha \alpha^T)^2 = E - 2\alpha \alpha^T + \alpha \alpha^T \alpha \alpha^T = E - 2\alpha \alpha^T + \alpha (\alpha^T \alpha) \alpha^T = E - 2\alpha \alpha^T + \alpha \alpha^T = E - \alpha \alpha^T = A$。所以 $A$ 是幂等矩阵。
公式：A^2 = A
提示：幂等矩阵的特征值只能是0或1。
步骤 6/7
目标：利用幂等矩阵性质求秩
对于幂等矩阵，秩等于迹。计算 $\operatorname{tr}(A) = \operatorname{tr}(E) - \operatorname{tr}(\alpha \alpha^T) = n - \alpha^T \alpha = n-1$。因此 $\operatorname{rank}(A) = n-1$。
公式：\operatorname{rank}(A) = \operatorname{tr}(A) = n-1
提示：注意 $\operatorname{tr}(\alpha \alpha^T) = \alpha^T \alpha$，因为 $\alpha \alpha^T$ 的迹等于内积。
步骤 7/7
目标：总结结论
综上所述，矩阵 $E - \alpha \alpha^T$ 的秩为 $n-1$。
提示：答案与 $\alpha$ 的具体取值无关，只要 $\alpha$ 是单位向量。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。