福州大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
10．$A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 4 & -2 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -2\end{array}\right)$ ，求 $A^{2025}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：计算特征多项式
计算矩阵 $A$ 的特征多项式：
$$\det(\lambda I - A) = \det\begin{pmatrix} \lambda-1 & -4 & 2 \\ 0 & \lambda+1 & 0 \\ -1 & -2 & \lambda+2 \end{pmatrix} = (\lambda+1)\det\begin{pmatrix} \lambda-1 & 2 \\ -1 & \lambda+2 \end{pmatrix} = (\lambda+1)[(\lambda-1)(\lambda+2)+2] = (\lambda+1)(\lambda^2+\lambda) = \lambda(\lambda+1)^2$$
公式：$\det(\lambda I - A) = \lambda(\lambda+1)^2$
提示：按第二行展开行列式，注意符号
步骤 2/7
目标：求特征值和特征向量
特征值：$\lambda_1=0$（单根），$\lambda_2=-1$（二重根）。
对于 $\lambda=0$，解 $(0I-A)x=0$：
$$\begin{pmatrix} -1 & -4 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & -2 & 2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 4 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
得特征向量 $\xi_1 = (2,0,1)^T$。
对于 $\lambda=-1$，解 $(-I-A)x=0$：
$$\begin{pmatrix} -2 & -4 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & -2 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
得特征向量 $\xi_2 = (-2,1,0)^T$，$\xi_3 = (1,0,1)^T$。
提示：注意特征向量需线性无关，确保可对角化
步骤 3/7
目标：构造可逆矩阵P和对角矩阵Λ
令 $P = (\xi_1, \xi_2, \xi_3) = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，则 $P^{-1}AP = \Lambda = \operatorname{diag}(0, -1, -1)$。
公式：$P^{-1}AP = \Lambda$
提示：P的列向量顺序与Λ的对角元顺序对应
步骤 4/7
目标：计算P的逆矩阵
计算 $P^{-1}$：
$$\det P = 2\cdot1\cdot1 + (-2)\cdot0\cdot1 + 1\cdot0\cdot0 - (1\cdot1\cdot1 + 0\cdot0\cdot2 + 1\cdot(-2)\cdot0) = 2 - 1 = 1$$
$$P^{-1} = \frac{1}{\det P} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & -2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & -2 & 2 \end{pmatrix}$$
公式：$P^{-1} = \frac{1}{\det P} \operatorname{adj}(P)$
提示：验证 $P P^{-1} = I$ 确保正确
步骤 5/7
目标：计算Λ的2025次幂
$$\Lambda^{2025} = \operatorname{diag}(0^{2025}, (-1)^{2025}, (-1)^{2025}) = \operatorname{diag}(0, -1, -1) = \Lambda$$
公式：$\Lambda^{2025} = \Lambda$
提示：注意 $0^{2025}=0$，$(-1)^{2025}=-1$
步骤 6/7
目标：计算A的2025次幂
$$A^{2025} = P \Lambda^{2025} P^{-1} = P \Lambda P^{-1} = A$$
公式：$A^{2025} = P \Lambda^{2025} P^{-1}$
提示：利用对角化公式，注意矩阵乘法顺序
步骤 7/7
目标：写出最终结果
$$A^{2025} = \begin{pmatrix} 1 & 4 & -2 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -2 \end{pmatrix}$$
提示：结果与A相同，可验证
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